Hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số, xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số thông qua việc ôn tập lý thuyết, quy tắc để áp dụng vào giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Kiến thức về hàm số đơn điệu đã được đề cập tại các lớp học trước, tuy nhiên ở chương trình Toán12, kiến thức này sẽ xuất hiện những dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh có kiến thức chắc hơn về hàm số. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong bài thi THPT QG những năm gần đây, vậy nên hiểu rõ dạng bài này này là rất quan trọng để dễ dàng “ăn điểm” trong kỳ thi. Cùng magdalenarybarikova.com tìm hiểu để dễ dàng giải các dạng bài tập về xéttính đơn điệu của hàm số nhé!
1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số
1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).
Bạn đang xem: Tính đơn điệu hàm số
Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu $\forall X_{1,}X_{2}\in K$,$X_{1}
Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu $\forall X_{1,}X_{2}\in K$,$X_{1}f(X_{2})\Rightarrow f(X_{1})>f(X_{2})$.
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
1.2. Các điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f"(x)=0, $\forall x\in$ Kvà f"(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f"(x) 0, $\forall x\in$ Kvà f"(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f"(x) >0, $\forall x\in$ Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K
Nếu f"(x)
Nếu f"(x)=0, $\forall x\in$ Kthì hàm số không đổi trên khoảng K
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
2.1. Tìm tập xác định
Để tìmtập xác định của hàm số y=f(x) là tập giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa ta có:
Nếu P(x) là đa thức thì:
$\frac{1}{P(x)}$có nghĩa$P(x)\neq 0$
$\frac{1}{\sqrt{P(x})}$có nghĩa $P(x) > 0$
$\sqrt{P(x)}$có nghĩa$P(x)\geq 0$
2.2. Tính đạo hàm
Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản:
2.3. Lập bảng biến thiên
Giả sử ta có hàm số y = f(x) thì:
f’(x)
f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy.
Quy tắc chúng sẽ là:
Ta tính f’(x), sau đó giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.
Lập bảng xét dấu f’(x).
Sau đó dựa vào bảng xét dấu và kết luận
2.4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Đây là bước quan trọng, ở bước này các em sẽ kết luận được sựđồng biếnnghịch biến của hàm số trên khoảng nào. Để hiểu rõ hơn thì cùng tham khảo những ví dụ dưới đây nhé!
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:$y=\frac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x-2$
Giải:
TXĐ: D= R, $y’= x^{2}-6x^{2}+8$, y’= 0
x= 2 hoặc x= 4
Ta có bảng biến thiên:
Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và $(4;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng (2;4)
3. Giải các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số
3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m
* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
Đối với hàm đa thức bậc ba: $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$; $(a\neq 0)$.
Tính $f"(x)=3ax^{2}+2bx+c$, khi đó
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R $\Leftrightarrow \alpha >0$và$\triangle "=b^{2}-3bc\leq 0$
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R $\Leftrightarrow \alpha
Đối với hàm phân thức bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$
Tính $y"=\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ khi đó:
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay (ad-bc)>0
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’
Ví dụ: Cho hàm số: $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+3(2m-1)x+1$. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Lời giải:
TXĐ: D = R
Tính $f"(x)=3x^{2}-6mx+3(2m-1)$
Đặt $g(x) = 3x^{2}-6mx+3(2m-1)$ có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);
Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:
$\alpha >0và\triangle "=b^{2}-a.c\leq 0$
$\Leftrightarrow\alpha =3>0$ và$\triangle "=9(m-1)^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrowm = 1$
Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R
* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC
Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vìbài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm sốxác định trên khoảng (a;b).
Bước 2: Tính f"(x) và tìm điều kiện của tham số để $f"(x)\geq0$ hoặc $f"(x)\leq0$ trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3x^{2}-3(m+1)x-(m+1)$ (*)
Tìm m để hàm số đồng biến trên $<1;+\infty)$.
Để hàm số đồng biến trên $<1;+\infty)$ thì $f"(x)\geq0, x <1,+\infty)$.
$\Rightarrow 3x^{2}-6x-3(m+1)\geq 0$, $\forall x\in <1;+\infty >$
$\Rightarrow x^{2}-2x-m-1\geq 0$,$\forall x\in<1;+\infty >$
$\Rightarrowx^{2}-2x-1\geq m$,$\forall x\in<1;+\infty >$
Đặt $y(x)=\Rightarrow x^{2}-2x-1\Rightarrow y"=2x-2$
Cho $y’ = 0 \Rightarrowx = 1$.Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có $y(x) \geqm$, $x <1;+\infty >$
Min $
$x <1;+\infty)$
3.2. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=|f(x)|
f(x) cụ thể cho trước. VD: $|x^{2}- 4x|$
f(x) có tham số dạng tách rời. VD: $|x^{3}-m|$
Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)
Bước 2: Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số |f(x)|
Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến
Ví dụ:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=|x^{3}-3x^{2}+m -4|$
Giải:
Xét hàm số: $f(x)= x3-3x^{2}+m -4$
Ta có $f’(x)= 3x^{2}-6x$, f’(x) = 0 x= 0 hoặc x=2
Bảng biến thiên của hàm số f(x)
Vì đồ thị hàm số y=f(x) có được nhờ giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y= f(x) ở trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở dưới lên trên qua trục Ox
Nên hàm số y=f(x) đồng biến trên $(3;+\infty)\Leftrightarrowf(3)\geq0$
$m - 4\geq0 \Leftrightarrow m\geq4$
3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng
Tìm m để hàm số đồng biến trên <-1;3>.
Để hàm số nghịch biến trên <-1;3> thì f’(x)
$\leq0,\forallx\in<-1,3>$.
$\Rightarrow3x^{2}-6x-3(m+1)\leq 0$,$\forallx\in<-1,3>$
$\Rightarrow-2x-m-1\leq 0$,$\forallx\in<-1,3>$.
$\Rightarrowx^{2}-2x-1\leq m$,$\forallx\in<-1,3>$.
Xem thêm: Đặt Tên Ở Nhà Cho Bé Gái 2021, Siêu Dễ Thương Và Cực Đáng Yêu
Đặt $y(x) = x^{2}-2x-1 y"(x)=2x-2$
Cho $y’(x) = 0 \Rightarrow x=1$. Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có: $y(x) \leq m$,$\forallx\in<-1,3>$
⇒ Max
$x\in <-1,3>$
Kết luận: Vậy với $m\geq 2$ thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng <-1;3>
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt kết quả thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập magdalenarybarikova.com và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.