Trong những năm gần đây nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Bài viết này nhằm giới thiệu hai dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton thường gặp trong các đề thi đại học.

Bạn đang xem: Tìm hệ số

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

Công thức khai triển nhị thức Newton:
*
,
*
.Công thức số tổ hợp:
*
,
*
.Tính chất lũy thừa:
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa

*
trong khai triển
*
.

Phương pháp.

Viết khai triển
*
;Biến đổi khai triển thành
*
;Số hạng chứa
*
tương ứng với số hạng chứa
*
thỏa
*
.Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của

*
trong khai triển đa thức:

*

Lời giải.

Ta có

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng với số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
*
.

Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa

*
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

*
{x} + \frac{1}{{\sqrt<4>{x}}}} \right)^7},x > 0" class="latex" />

Lời giải.

Ta có

*
{x} + \frac{1}{{\sqrt<4>{x}}}} \right)^7} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{7 - k}}} {\left( {{x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}}}}" class="latex" />.

Số hạng không chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy số hạng không chứa

*
*
.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa

*
trong khai triển
*
, biết:

*

Lời giải.

Theo giả thiết có:

*

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
*
.

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của

*
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

*

Lời giải.

Ta có khai triển:

*
}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}{{(1 - x)}^k}}" class="latex" />

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
*
thỏa
*
.

*
nên
*
hoặc
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
*
.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến

*
.

Phương pháp.

Chọn một khai triển
*
phù hợp, ở đây
*
là hằng số.Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.Dựa vào điều kiện bài toán, thay
*
bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương

*
thoả mãn hệ thức:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn

*
ta có
*
.

Lại theo giả thiết ta có

*
.

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của

*
trong khai triển 
*
, biết:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn

*
ta có
*
.

Lại có

*
nên
*
.

Lại theo giả thiết có

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
*
.

Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương

*
thoả mãn hệ thức:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn lần lượt

*
*
ta có
*
.

Trừ theo vế (1) và (2) ta có

*
.

Lại theo giả thiết có

*
.

Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương

*
thỏa mãn:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Lấy đạo hàm hai vế được

*
.

Thay

*
ta có
*
.

Theo giả thiết ta có

*
.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có:

*
.

Chọn

*
ta có
*
(đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) Cho

*
là số nguyên dương. Tính tổng:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có:

*

*
.

Vậy

*
.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng chứa

*
trong khai triển biểu thức
*
.

2. (A-2012) Cho

*
là số nguyên dương thỏa mãn
*
.

Tìm số hạng chứa

*
trong khai triển nhị thức Newton của
*
.

3. (A-02) Cho khai triển biểu thức

*

biết rằng trong khai triển đó

*
và số hạng thứ tư bằng
*
. Tìm
*
*
.

4. (D-07) Tìm hệ số của

*
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

*

5.

Xem thêm: Soạn Bài Chữa Lỗi Về Chủ Ngữ Và Vị Ngữ Tiếp Theo ), Soạn Bài Chữa Lỗi Về Chủ Ngữ Và Vị Ngữ (Tiếp)

(D-03) Với

*
là số nguyên dương, gọi
*
là hệ số của
*
trong khai triển thành đa thức của
*
. Tìm
*
để
*
.