Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Cho đường cong $y=f(x)$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=k’x+b$.
Bạn đang xem: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Gọi $M(x_0;y_0$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;y_0$ là:
$y=f"(x_0)(x-x_0)+y_0$
hay $y=k(x-x_0)+y_0$ với $k=f"(x_0)$
Để viết được phương trình tiếp tuyến thì các bạn cần xác định được $x_0, y_0, f"(x_0)$
Với dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình là: $y=k’x+b$ thì các bạn sử dụng tính chất:
$k.k’=-1$ (tích 2 hệ số góc bằng -1)
$f"(x_0).k’=-1$
$f"(x_0)=\frac{-1}{k}$
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f(x)=2x^2+3x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng d’: $y=x+2$.
Ta có: $f"(x)=4x+3$
Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm.
Khi đó: $k=f"(x_0)=4x_0+3$ và $y_0=f(x_0)=2x^2_0+3x_0+1$
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ có hệ số góc k’=1 nên ta có:
$k.k’=-1$
$(4x_0+3).1=-1$
$4x_0+3=-1$
$x_0=-1$
$f"(x_0) = 4.(-1)+3 = -1$Và $y_0 = f(x_0) = 2.(-1)^2+3(-1)+1=0$
Phương trình tiếp tuyến của parabol vuông góc với đường thẳng d’ là:
$y=-1(x+1)+0$ => $y=-x-1$
Bài 2: Cho đường cong (C): $y=\frac{1}{4}x^4-x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):$ x-4y+12=0$
Hướng dẫn:
$f"(x)=x^3-2x$
$y_0=f(x_0)=\frac{1}{4}x^4_0-x^2_0+2$
$k =f"(x_0)=x^3_0-2x_0$
Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{1}{4}$
Ta có:
$k.k’=-1$
$( x^3_0-2x_0).\frac{1}{4}=-1$
$ x^3_0-2x_0-4=0$
$x_0-2=0$
$x_0=2$y_0=f(x_0)=f(2)=2$; $f"(x_0)=f"(2)=4$
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) vuông góc với đường thẳng d là:
$y=4(x-2)+2$ => $y=4x-6$
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):$y=f(x)=\frac{x-3}{x+1}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+2y-4 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có: $y’=f"(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$; $y_0=f(x_0)= )=\frac{x_0-3}{x_0+1}$
$ k=f"(x_0)=\frac{2}{(x_0+1)^2}$
Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{-1}{2}$
Ta có:
$k.k’=-1$
$\frac{2}{(x_0+1)^2}.\frac{-1}{2}=-1$
$\frac{2}{(x_0+1)^2}=2$
$(x_0+1)^2=1$
$x_0+1=1$ hoặc $x_0+1=-1$
$x_0=0$ hoặc $x_0=-2$
Hệ số góc của tiếp tuyến là $k=2$
Với $x_0=0$ => $y_0 = f(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:
$y=2(x-0)-3$ => $y=2x-3$
Với $x_0=-2$ => $y_0=f(-2)=5$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:
$y=2(x+2)+5$ => $y=2x+9$
Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): $y=f(x)=\frac{x+2}{x+3}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+4y-1 = 0$
Bài 2: Cho đường cong (C):$y=\frac{1}{4}x^4+2x-3$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: a.Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3. b.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): $x-6y+5=0$
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=2x^2+2x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng $y=-x+3$
Bài 4: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a.Tại điểm có hoành độ bằng (-1). b.Tại điểm có tung độ bằng 2. c.Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1 d.Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).
Xem thêm: Những Tháng Dương Lịch Có 30 Ngày, 31 Ngày Trong Năm, Tập Hợp Các Tháng Dương Lịch Có 30 Ngày Là
e.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2 f.Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3. g.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−2)