Hàm số lũy quá là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo (alpha): 

- trường hợp (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Tập xác định của hàm lũy thừa

- nếu (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác minh là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác minh (R), trong khi đó các hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều có tập xác minh ((0; +∞)). Bởi vì vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( hay (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là đầy đủ hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai rất nhiều (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu hàm số (u=u(x)) nhận cực hiếm dương và tất cả đạo hàm trong khoảng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng bao gồm đạo hàm trên (J) cùng " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số nón nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy quá (y=x^n) có tập xác minh là (R) và bao gồm đạo hàm bên trên toàn trục số. Phương pháp tính đạo hàm số lũy thừa bao quát được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) bao gồm đạo hàm trong vòng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) tất cả tập xác minh là (Rackslash left 0 ight\) và có đạo hàm tại đều (x) không giống (0), phương pháp đạo hàm hàm số lũy thừa tổng thể được không ngừng mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) tất cả đạo hàm trong tầm (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa (y = x^frac1n) (tập khẳng định của (y = sqrtx) chứa tập xác định của (y = x^frac1n) và trên tập khẳng định của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) tất cả tập khẳng định (R). Trên khoảng chừng ((0; +∞) ) ta gồm (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với đa số (x) khiến cho hai vế có nghĩa.

Xem thêm: Điểm Chuẩn Các Khối Thi Dự Đoán Điểm Chuẩn Khối B 2021 Từ Chuyên Gia Giáo Dục

Sử dụng nguyên tắc đạo hàm hàm phù hợp ta suy ra: ví như (u=u(x)) là hàm gồm đạo hàm trên khoảng tầm (J) và thỏa mãn điều kiện (u(x) > 0, ∀x ∈ J) lúc (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) nuốm thể, đề nghị xét hàm số bên trên toàn tập khẳng định của nó (chứ chưa phải chỉ xét trên khoảng ((0; +∞)) như trên).