Nắm vững các quy tắc đối chiếu hai lũy thừa, nhị logarit thuộc cơ số không chỉ có giúp bạn giải quyết và xử lý các việc về đối chiếu lũy thừa, logarit mà còn là một công cụ có lợi và mau lẹ để giải những bất phương trình mũ tuyệt logarit dạng đối kháng giản.

Bạn đang xem: So sánh logarit

*

Qua câu hỏi phân tích, tổng hợp các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số, bài viết rút ra quy tắc đối chiếu dùng chung cho cả hai và phát biểu nó bên dưới dạng khẩu-quyết hỗ trợ cho việc ghi nhớ và áp dụng quy tắc được thuận tiện và hiệu quả.

1. So sánh hai lũy thừa thuộc cơ số

Ở những lớp THCS, học sinh đã được học quy tắc về so sánh hai lũy thừa thuộc cơ số cùng quy tắc này được triển khai xong thành định lí tường minh trong SGK Giải tích lớp 12.1

Định lí

Trong hai lũy thừa cùng cơ số lớn rộng 1, lũy quá nào tất cả số mũ lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

*
y \Leftrightarrow a^x > a^y" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="128" style="vertical-align: -4px;"/>

Trong hai lũy thừa cùng cơ số nhỏ hơn 1, lũy vượt nào gồm số mũ lớn hơn vậy thì lại nhỏ hơn và ngược lại

*
y \Leftrightarrow a^x

Quan sát và so sánh chiều của số mũ với chiều của lũy vượt trong từng trường phù hợp cơ số to hơn 1 với cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, lúc cơ số to hơn 1 thì nhì bất đẳng thức đó thuộc chiều, còn lúc cơ số bé dại hơn 1 thì nhị bất đẳng thức đó ngược chiều. Vị đó, ta hoàn toàn có thể phát biểu đặc điểm này bên dưới dạng khẩu quyết gọn nhẹ là


Cơ số lớn hơn 1 thì thuộc chiều. Cơ số nhỏ dại hơn 1 thì ngược chiều2

Hãy xem khẩu quyết trên được vận dụng thế nào trong những bài toán.


Ví dụ 1. Không cần sử dụng máy tính, hãy so sánh hai số sau

*
*


Nhận xét: nhì lũy thừa cùng cơ số
*
*
4^x-1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="125" style="vertical-align: -1px;"/>


Phân tích

* việc giải bất phương trình trên hoàn toàn có thể xem như là bài toán so sánh hai lũy thừa.

* mặc dù nhiên, bọn họ chỉ bao gồm quy tắc đối chiếu hai lũy thừa cùng cơ số, trong khi lũy thừa làm việc mỗi vế chưa cùng cơ số nên trước tiên ta cần đổi khác hai lũy vượt về cùng một cơ số, sau đó áp dụng quy tắc xuất xắc khẩu quyết đối chiếu trên.

* hay thấy rằng,

*
cho nên vì vậy bất phương trình vẫn cho tương đương với

*
2^2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="142" style="vertical-align: 0px;"/>

* thời điểm này, họ có nhị lũy thừa cùng cơ số to hơn 1 bắt buộc (cùng chiều) lũy thừa nào lớn hơn vậy thì số mũ khủng hơn. Suy ra

*
2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="175" style="vertical-align: -4px;"/>

* Bất phương trình đã đến quy về một bất phương trình bậc hai quen thuộc và vấn đề được giải.

Lời giải

*
4^x-1 \Leftrightarrow 2^x^2+3x-4>2^2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="295" style="vertical-align: -1px;"/>

*
2(x-1)\Leftrightarrow x^2 + x - 2 > 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="339" style="vertical-align: -4px;"/>

*

Bình luận

– Trong lời giải ví dụ 2, bọn họ đã gửi hai lũy vượt về cùng cơ số 2, chúng ta có thể đưa về một cùng cơ số không giống 2 được không? chẳng hạn như 4 tuyệt 8 xuất xắc

*
,…

– trong lúc ví dụ trước tiên đã cho biết chiều số mũ và yêu cầu tìm chiều lũy quá thì ví dụ hai hỏi ngược lại, cho biết chiều lũy thừa và nên tìm chiều số mũ. Mặc dù nhiên, dù việc có mang lại “kiểu gì đi chăng nữa”: cho biết thêm chiều số mũ buộc phải tìm chiều lũy thừa hay ngược lại, thì họ cứ nắm vững khẩu quyết “Lớn hơn 1 thì cùng chiều, bé dại hơn 1 thì ngược chiều” là đều rất có thể giải được hết!

Tiếp theo chúng ta cùng tò mò quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số và cách vận dụng nó.

2. đối chiếu hai logarit cùng cơ số

Trước tiên, bọn họ cần phân biệt cơ-số cùng đối-số vào kí hiệu logarit:

*

Trong kí hiệu trên,

*
được điện thoại tư vấn là cơ số còn
*
được gọi là đối số của logarit và đk của bọn chúng là
*

Sau đây là nội dung định lí đối chiếu hai logarit cùng cơ số, được reviews trong SGK Giải tích 12 Nâng cao3 trang 84.

Định lí

Trong hai logarit cùng cơ số lớn rộng 1, logarit nào gồm đối số lớn hơn nữa thì lớn hơn với ngược lại

*
y \Leftrightarrow \log_a x > \log_a y" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="181" style="vertical-align: -4px;"/>

Trong nhị logarit cùng cơ số nhỏ rộng 1, logarit nào tất cả đối số lớn hơn thì lại nhỏ dại hơn và ngược lại

*
y \Leftrightarrow \log_a x

Quan liền kề và đối chiếu chiều của đối số với chiều của logarit trong từng trường phù hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ dại hơn 1. Bọn họ thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì nhì bất đẳng thức đó thuộc chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì nhì bất đẳng thức đó ngược chiều. Rất có thể thấy, định lí này “giống hệt” định lí về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Vày đó, ta rất có thể phát biểu đặc điểm này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là


Cơ số to hơn 1 thì thuộc chiều. Cơ số nhỏ dại hơn 1 thì ngược chiều4

Xét một vài ba ví dụ để hiểu rộng về khẩu quyết này, “cứ to hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ tuổi hơn 1 thì ngược chiều”.


Ví dụ 3. Không dùng máy tính, hãy đối chiếu hai số sau

*
cùng
*


Phân tích

– nhị logarit cùng cơ số 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"/> bắt buộc (cùng chiều) logarit nào tất cả đối số lớn hơn nữa thì lớn hơn. Vì thế ta cần đối chiếu tiếp hai đối số của chúng.

– nhì logarit

*
*
cùng cơ số

Lời giải

* vày cơ số

* bởi cơ số 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"/> và

*
\log_0.1 0.3" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="158" style="vertical-align: -5px;"/> nên
*
\log_\pi\left (\log_0.1 0.3\right )" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="255" style="vertical-align: -5px;"/>


Ví dụ 4. Giải bất phương trình

*

* Kết hợp với điều kiện:

*
0, x^2 + 6x + 8>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="220" style="vertical-align: -4px;"/>, bất phương trình vẫn cho tương tự với hệ:

*
0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="75" width="183" style="vertical-align: -33px;"/>

* Giải hệ bất phương trình bậc hai trên ta kiếm được nghiệm của bất phương trình sẽ cho

Lời giải

*
4x + 11\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="75" width="495" style="vertical-align: -33px;"/>

*
0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\endcases \Leftrightarrow \begincasesx > -\frac114 \\ x^2 + 2x -3 > 0\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="54" width="391" style="vertical-align: -23px;"/>

*
-\frac114 \\ x 1\endcases \Leftrightarrow x > 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="54" width="245" style="vertical-align: -23px;"/>

Bình luận

– Khi gặp mặt các biểu thức đựng logarit, bạn luôn luôn nhớ đặt đk có nghĩa cho tất cả cơ số và đối số.

– hoàn toàn có thể thấy quy tắc so sánh hai logarit thuộc cơ số trọn vẹn giống quy tắc đối chiếu hai lũy thừa thuộc cơ số. Chỉ gồm một điểm khác nho nhỏ: đối số của logarit tương ứng với số mũ của lũy thừa.

3. Lưu ý học và dạy

– Khi gặp mặt các bài xích toán liên quan đến đối chiếu hai lũy thừa, nhì logarit chưa cùng cơ số thì có thể biến đổi về cùng một cơ số rồi áp dụng quy tắc so sánh trên.

– những quy tắc đối chiếu hai lũy thừa với hai logarit cùng cơ số đều rất có thể phát biểu thành 1 nguyên tắc chung:

“Cơ số to hơn 1 thì cùng chiều, cơ số bé dại hơn 1 thì ngược chiều”

– Học ngừng các quy tắc đối chiếu trên là học tập sinh có thể giải được phần nhiều các bài xích tập về phương trình, bất phương trình mũ cùng logarit, phải giáo viên hoàn toàn có thể khuyến khích, phía dẫn học viên tự đọc cùng làm những bài tập về phần này. Điều đó không những tạo điều kiện phát huy tính tích cực, tự học tập cho học viên mà còn là một cách củng cố các quy tắc đối chiếu trên cũng giống như các kỹ năng về lũy thừa cùng logarit một phương pháp hiệu quả.

– do SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn không ra mắt định lí đối chiếu hai logarit thuộc cơ số, trong những khi đó là một nội dung đề xuất được ghi trong chuẩn kiến thức năng lực nên khi đào tạo và huấn luyện Bài 3. Logarit gia sư cần xem xét điều này và trình làng định lí trên đến học sinh.

Xem thêm: Toàn Bộ Tài Liệu Toán Thầy Đặng Việt Hùng Lớp 10, Chuyên Đề Toán 12 Đầy Đủ

P/s: Mời bạn đón đọc bài viết tiếp theo, về “Khẩu quyết xét vệt logarit“.