Để học tốt Toán lớp 9, Top giải thuật biên soạn chăm đề sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học. Chuyên đề bao hàm sơ đồ tứ duy, lý thuyết và các dạng bài xích tập tương quan đến chương 2: Đường tròn. Đây là những kiến thức và kỹ năng rất quan trọng đặc biệt giúp các em học xuất sắc Toán 9 tương tự như đạt điểm cao môn Toán vào kỳ thi vào lớp 10 sắp tới.
Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học
A. Sơ đồ bốn duy toán 9 chương 2 hình học- mặt đường tròn
1. Sơ đồ tứ duy toán 9 chương 2 hình học lý thuyết đường tròn
2. Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học các công thức đường tròn
B. Triết lý Đường tròn
I. Sự khẳng định của mặt đường tròn, đặc điểm đối xứng của con đường tròn
1. Đường tròn
- Đường tròn trung ương O bán kính R (R > 0) là hình gồm những điểm giải pháp điểm O một khoảng cách bằng R.
2. Vị trí kha khá của một điểm cùng với một con đường tròn
- mang đến đường tròn vai trung phong (O;R) với điểm M.
+ M nằm trên phố tròn (O;R) ⇔ OM = R
+ M nẳm trong mặt đường tròn (O;R) ⇔ OM R
3. Cách khẳng định đường tròn
- Qua tía điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và có một đường tròn.
4. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Đường tròn là hình gồm tâm đối xứng. Tâm của mặt đường tròn là trọng tâm đối xứng của của đường tròn đó.
- Đường tròn là hình bao gồm trục đối xứng, trục ngẫu nhiên đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
II. Dây của con đường tròn
1. So sánh độ nhiều năm của đường kính và dây
- trong số dây của đường tròn dây lớn nhất là con đường kính
2. Dục tình vuông góc giữa đường kính và dây
- vào một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- trong một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ trung ương đến dây
+ trong một đường tròn:
2 dây đều bằng nhau thì bí quyết đều tâm
2 dây phương pháp đều trung khu thì bởi nhau
+ trong 2 dây của 1 đường tròn
Dây làm sao lớn hơn vậy thì dây kia gần trọng tâm hơn
Dây nào nhỏ hơn thì dây kia xa trung tâm hơn
III. Vị trí tương đối của con đường thẳng với đường tròn
1. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt đường tròn
- mang lại đường tròn vai trung phong (O;R) và con đường thẳng Δ, để d = d(O,Δ) lúc đó:
Đường thẳng cắt đường tròn trên 2 điểm phân biệt ⇔ d
Đường thẳng tiếp xúc với mặt đường tròn ở 1 điểm ⇔ d=R
Đường trực tiếp và mặt đường tròn ko giao nhau ⇔ d>R
- Khi con đường thẳng và mặt đường tròn xúc tiếp nhau thì mặt đường thẳng được điện thoại tư vấn là tiếp đường của đường tròn. Điểm bình thường giữa con đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.
2. Lốt hiệu nhận ra tiếp con đường của con đường tròn
- trường hợp 1 mặt đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm
- Nếu 1 đường thẳng đi qua một điểm của con đường tròn cùng vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường chiến thắng ẩy là tiếp đường cùa con đường tròn.
3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Nếu hai tiếp con đường cùa một mặt đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điếm đó cách đều nhì tiếp điểm.
Tia kẻ từ đặc điểm này đi qua trung khu là tia phân giác của góc tạo vì chưng hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vì chưng hai nửa đường kính (đi qua các tiếp điểm)
4. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn xúc tiếp với cha cạnh cùa một tam giác được call là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được điện thoại tư vấn là nước ngoài tiếp đường tròn.
- trọng điểm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được hotline là giao điểm cùa những đường phân giác các góc vào tam giác.
5. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với những phần kéo dãn của nhị cạnh cơ được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- với 1 tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
- chổ chính giữa cùa đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm cùa hai tuyến phố phân giác các góc kế bên tại B và C, hoặc là giao điểm cùa mặt đường phân giác góc A và con đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
IV. Vị trí kha khá của hai tuyến đường tròn
1. Tính chất đường nối tâm
- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình tất cả cà hai tuyến phố tròn đó.
- Nếu hai tuyến đường tròn cắt nhau thì nhị giao điếm đồi xứng cùng nhau qua đường nối tâm.
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trê tuyến phố nối tâm.
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn.
+ mang đến 2 đường tròn (O; R) và (O"; r) để OO"=d
- hai tuyến phố tròn giảm nhau tại 2 điểm ⇔ R-r
Tiếp xúc trong ⇔ d = R - r
Tiếp xúc ngoài ⇔ d = R + r
- hai tuyến phố trong ko giao nhau
+ Ở ngoại trừ nhau ⇔ d > R + r
+ O chứa O" ⇔ d 3. Tiếp tuyến thông thường của hai đường tròn
- Tiếp tuyến thông thường cùa hai tuyến đường tròn là con đường thẳng tiếp xúc đối với cả hai con đường tròn đó.
- Tiếp con đường chung kế bên là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
- Tiếp tuyến tầm thường trong là tiếp tuyến bình thường cắt đoạn nối tâm.
V. Liên hệ giữa cung cùng dây
1. Định lí 1
+ Với nhì cung nhỏ tuổi trong một đường tròn hay trong hai tuyến đường tròn bởi nhau:
- hai cung cân nhau căng nhị dây bằng nhau.
- nhì dây đều bằng nhau căng nhị cung bằng nhau.
2. Định lí 2
+ Với nhì cung nhỏ dại trong một mặt đường tròn xuất xắc trong hai đường tròn bằng nhau:
- Cung to hơn căng dây to hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Xẻ sung
+ trong một đường tròn, nhị cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm ở chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ trong một mặt đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không trải qua tâm) thì trải qua điếm ở trung tâm của cung bị căng bởi dây ấy.
+ trong một đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm ở chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy cùng ngược lại.
VI. Góc nội tiếp con đường tròn
1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc gồm đỉnh nằm trê tuyến phố tròn và hai cạnh cất hai dây cung của đường tròn ấy.
- Cung nằm bên phía trong góc được gọi là cung bị chắn.
2. Định lí: vào một con đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
+ trong một mặt đường tròn:
- các góc nội tiếp bằng nhau chắn những cung bằng nhau.
- các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung đều bằng nhau thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp (nhỏ rộng hoặc bởi 90° có số đo bằng nửa số đo của góc làm việc tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa con đường trònlà góc vuông.
VII. Góc tạo vì chưng tiếp đường và dây cung
1. Định lí: Số đo của góc tạo bởi vì tiếp tuyến và dây cung bởi nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả: vào một con đường tròn, góc tạo do tia tiếp đường và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bởi nhau.
3. Định lí (bổ sung)
- giả dụ góc BAx (với đỉnh A nằm trê tuyến phố tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên phía trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp đường của mặt đường tròn.
VIII. Góc nghỉ ngơi đỉnh bên trong, với góc ngơi nghỉ đỉnh bên phía ngoài đường tròn
Định lí 1: Số đo của góc gồm đỉnh ở bên phía trong đường tròn bởi nửa tổng so đo hai cung bị chắn.
Định lí 2: Số đo của góc tất cả đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo nhị cung bị chắn.
IX. Cung cất góc
1. Quỹ tích cung đựng góc
- với đoạn thẳng AB cùng góc ∝ (00
Hai cung chứa góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng cùng nhau qua AB.
Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M nhìn đoạn thẳng AB đến trước dưới một góc vuông là mặt đường tròn đường kính AB.
2. Phương pháp vẽ cung chứa góc ∝
Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.
Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ∝
Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
Vẽ cung AmB, tâm O, nửa đường kính OA sao để cho cung này nằm tại nửa mặt phẳng bờ AB không đựng tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là 1 trong những cung đựng góc ∝.
3. Phương pháp giải vấn đề quỹ tích
- Muốn chứng tỏ quỹ tích (tập hợp) những điếm M thỏa mãn nhu cầu tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng tỏ hai phần:
Phần thuận: hầu như điếm có đặc điểm T mọi thuộc hình H.
Phần đảo: phần đa điểm nằm trong hình H đều phải có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích các điếm M có tính chất T là hình H.
X. Tứ giác nội tiếp
1. Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trong một mặt đường tròn được hotline là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Định lí
- vào một tứ giác nội tiêp, tổng cộng đo 2 góc đối diện bằng 180o
- nếu như một tứ giác có tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được con đường tròn.
3. Một trong những dấu hiệu phân biệt tứ giác nội tiếp
- Tứ giác gồm bốn đỉnh vị trí một con đường tròn là tứ giác nội tiếp con đường tròn.
- Tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được con đường tròn.
- Tứ giác ABCD gồm 2 đỉnh C với D sao cho
XI. Đường tròn nội tiếp, mặt đường tròn nước ngoài tiếp
1. Định nghĩa
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được hotline là đường tròn ngoại tiếp nhiều giác cùng đa giác được hotline là đa giác nội tiếp con đường tròn.
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được call là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được call là đa giác ngoại tiếp con đường tròn.
2. Định lí
- bất kể đa giác hầu như nào cũng có thể có một và có một đường tròn ngoại tiếp, có một và có một đường tròn nội tiếp.
- trọng điểm của hai tuyến phố tròn này trùng nhau và được call là tâm của đa giác đều.
- trung tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai tuyến phố phân giác của hai góc.
* Chú ý:
- bán kính đường tròn nước ngoài tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
- nửa đường kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O cho 1 cạnh.
- cho n_ giác (đa giác bao gồm n cạnh) đầy đủ cạnh a. Khi đó:
Chu vi của nhiều giác: 2p = na (p là nửa chu vi)
Mỗi góc sinh sống đỉnh của nhiều giác có số đo bằng: 180o(n-2)/n
Mỗi góc ở chổ chính giữa của nhiều giác bao gồm số đo bằng: 360o/n
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)
Bán kính mặt đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)
Liên hệ giữa bán kính đường tròn nước ngoài tiếp cùng nội tiếp: R2 - r2 = a2/4
Diện tích nhiều giác đều: S = (1/2)nar
XII. Độ dài con đường tròn, cung tròn
1. Phương pháp tính độ dài đường tròn (chu vi mặt đường tròn)
- Độ nhiều năm C của một đường tròn nửa đường kính R được tính theo cách làm C = 2πR hoặc C = πd(d=2R)
2. Cách làm tính độ dài cung tròn
Trên đường tròn nửa đường kính R, độ lâu năm l của một cung no được tính theo công thức:
XIII. Diện tích s hình tròn, hình quạt tròn
1. Cách làm tính diện tích hình tròn
- diện tích S của một hình tròn bán kính R được xem theo công thức: S = πR2
2. Cách làm tính diện tích hình quạt tròn
- diện tích s hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được tính theo công thức
C. Các dạng bài bác tập về đường tròn
Dạng 1: chứng tỏ nhiều điểm cùng thuộc 1 mặt đường tròn
* Phương pháp: Chứng minh các điểm vẫn cho biện pháp đều 1 điểm cho trước
Ví dụ: Cho tam giác ABC có cha góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn (O), các đường cao theo lần lượt là AD, BE, CF. Minh chứng rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
* Lời giải:
⇒ E cùng F thuộc nằm trên đường tròn đường kính BC.
⇒ Vậy tư điểm B,C,E,F cùng nằm trên một mặt đường tròn.
Dạng 2: Xác định vai trung phong và bán kính của đường tròn ngoại tiếp
* Phương pháp:
- Tam giác thường: Vẽ hai tuyến đường trung trực, giao của 2 mặt đường trung trực là trung tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác
- Tam giác vuông: Tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
- Tam giác cân: Tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác nằm trê tuyến phố cao hạ từ đỉnh xuống lòng tam giác.
- Tam giác đều: Tâm của con đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực trọng điểm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 1: Tính nửa đường kính của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân bao gồm cạnh góc vuông bằng a.
* Lời giải:
- Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:
- vì chưng tam giác vuông cân, bắt buộc tâm mặt đường tròn là trung điểm của cạnh huyền cùng chiều dài nửa đường kính là:
Ví dụ 2: Xác định tâm và nửa đường kính của con đường tròn trọng điểm (O) ngoại tiếp tam giác phần đa ABC gồm cạnh bằng a.
* Lời giải:
Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm nhị đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O theo thứ tự trên AB , BC, CD và DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S thuộc một mặt đường tròn .
* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.
ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO
(vì cạnh huyền bằng nhau ,góc nhọn bởi nhau)
* Suy ra OM = ON = OR = OS
* Vậy M,N,R,S ∈ O
Bài tập 2: Cho Δ ABC cân nặng tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH cắt Đường tròn ở D .
1) Vì sao AD là 2 lần bán kính của (O) ?
2) Tính số đo góc ACD ?
3) Cho BC = 24 cm ; AC = trăng tròn cm ;Tính chiều cao AH và bán kính của (O)
* Lời giải:
1) Vì trung ương O là giao điểm của 3 mặt đường trung trực của Δ ABC
Mà Δ ABC cân nặng ở A đề xuất đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH
⇒ AD là dây qua trọng tâm ⇒ AD là đường kính
2) Nối DC; OC
Ta có CO là trung tuyến mà CO = AD/2 = R
⇒ Δ ACD vuông sống C nên = 900
3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12
Xét Δ vuông AHC có :
Xét Δ vuông ACD bao gồm : AC2 = AH .AD
⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 centimet ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm
Bài tập 3: Cho mặt đường tròn (O) 2 lần bán kính AB, điểm M thuộc con đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, hotline E là giao điểm của AC và BM.
1) bệnh minh:NE ⊥ AB
2) hotline F là vấn đề đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của con đường tròn (O)
3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Mang sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R
Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, đem điểm C trên đường tròn làm sao cho AC = R.
1) Tính BC theo R và những góc của tam giác ABC.
Xem thêm: Chuyển Dịch Cơ Cấu Ngành Kinh Tế Ở Việt Nam Và Những Vấn Đề Đặt Ra
2) call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD trải qua M. Chứng tỏ tứ giác ACOD là hình thoi.
3) Tiếp tuyến tại C của mặt đường tròn giảm đường thẳng AB tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của con đường tròn (O)
4) hai đường thẳng EC và vì chưng cắt nhau trên F. Chứng tỏ C là trung điểm của EF
Bài tập 5: Cho hai tuyến đường tròn (O; R) cùng (O; R’) tiếp xúc ko kể tại A. Kẻ tiếp con đường chung ngoài BC. Với B ∈ (O) và C (O")
1) Tính góc BÂC
2) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng
3) Tính DA.DC
4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến đường của đường tròn có 2 lần bán kính BC, và tính BC?
Bài tập 6: Cho đường tròn vai trung phong O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C làm sao để cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H
1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF
2) ADCO là tứ giác nội tiếp
3) DC2 = DE.DB
4) AF.CH = AC.EC
5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)
6) Từ E kẻ đường thẳng tuy nhiên song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng