Bài này viết về định lý sin trong lượng giác. Đối với định lý sine trong đồ lý, xem định phương pháp Snell. Trong lượng giác, định lý sin (hay định biện pháp sin, công thức sin) là một trong những phương trình biểu diễn quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kỳ với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng  Một tam giác với các thành phần trong định lý sin a sin A = b sin B = c sin C displaystyle frac asin A,=,frac bsin B,=,frac csin C! . trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối lập (xem hình vẽ). Phương trình cũng hoàn toàn có thể được viết dưới dạng nghịch đảo: sin A a = sin B b = sin C c . displaystyle frac sin Aa,=,frac sin Bb,=,frac sin Cc.! Định lý sin có thể được cần sử dụng trong phép đạc tam giác nhằm tìm nhì cạnh sót lại của một tam giác lúc biết một cạnh với hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh vật dụng ba khi biết hai cạnh với một góc không xen thân hai cạnh đó. Trong một vài trường hợp, bí quyết cho ta hai cực hiếm khác nhau, dẫn đến hai kỹ năng khác nhau của một tam giác. Định lý sin là 1 trong trong nhị phương trình lượng giác hay được dùng để tìm cạnh cùng góc của một tam giác, ko kể định lý cos. Mục lụcCác ví dụSửa đổiCho: cạnh a=20, cạnh c=24, góc C=40° Theo định lý sin ta có sin A 20 = sin 40 24 . displaystyle frac sin A20=frac sin 40^circ 24. A = arcsin ( trăng tròn sin 40 24 ) 32.39 . displaystyle A=arcsin left(frac 20sin 40^circ 24 ight)approx 32.39^circ . Một lấy ví dụ như khác: Nếu hai cạnh của một tam giác tất cả chiều dài là R với chiều nhiều năm cạnh máy ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì: A = B = 180 C 2 = 90 C 2 displaystyle angle A=angle B=frac 180^circ -angle C2=90-frac angle C2! và R sin A = c sin C v R sin B = c sin C displaystyle R over sin A=mboxc over sin C ext v R over sin B=mboxc over sin C,! c sin A sin C = R v c sin B sin C = R . displaystyle mboxc,sin A over sin C=R ext v mboxc,sin B over sin C=R.! Vấn đề tính toánSửa đổiGiống như định lý cos, tuy vậy định lý sin đúng về mặt toán học, nhưng vấn đề áp dụng có thể dẫn đến sai số phệ khi sin của một góc vô cùng gần cùng với 1. Vài ứng dụngSửa đổiĐịnh lý sin rất có thể được sử dụng để chứng minh công thức sin của một tổng khi nhì góc α cùng β nằm giữa 0 với 90 độ.Để bệnh minh, hạ con đường cao từ góc C, phân chia góc C thành nhị góc α thuộc phía cùng với góc A với β thuộc phía với góc B. Sử dụng định lý sin so với cạnh c cùng a nhằm giải phương trình kiếm tìm sinC. Trong nhị tam giác vuông new vẽ được nhờ đường cao ta thấy sin(A) =cos(α), sin(B) =cos(β) với c=asin(β)+bsin(α). Sau khoản thời gian thế ta được sin(C) =sin(α+β) =sin(β)cos(α)+(b/a)sin(α)cos(α). Cần sử dụng định lý sin đối với cạnh b và a để giải phương trình kiếm tìm b. Vậy vào phương trình của sin(α+β) cùng ta có điều cần chứng minh.Định lý sin cũng có thể được dùng để chứng tỏ định lý tang và cách làm Mollweide (Dresden 2009, Plane Trigonometry trang 7678).Trường hợp sệt biệtSửa đổiTrong một vài ngôi trường hợp, khi áp dụng định lý sin, ta được hai quý hiếm khác nhau, dẫn đến năng lực dựng được nhị tam giác khác biệt trong thuộc một câu hỏi giải tam giác.  Điều kiện nhằm tam giác ABC rơi vào cảnh trường vừa lòng này là: Chỉ biết cạnh a, b với góc A.Góc A nhọn (A Cạnh a bé hơn cạnh b (a Cạnh a dài hơn đường cao của tam giác vuông tất cả góc A với cạnh huyền b (a > b sin A). Trong trường vừa lòng đó, góc B rất có thể nhọn hoạc tù, vày đó: B = arcsin b sin A a displaystyle B=arcsin bsin A over a! hoặc B = 180 arcsin b sin A a displaystyle B=180^circ -arcsin bsin A over a Liên quan với con đường tròn nước ngoài tiếpSửa đổiTrong bí quyết a sin A = b sin B = c sin C , displaystyle frac asin A,=,frac bsin B,=,frac csin C,! giá trị của mỗi phân số chính là đường kính của con đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.<1> người ta cũng minh chứng được rằng cực hiếm trên bằng a b c 2 S = a b c 2 s ( s a ) ( s b ) ( s c ) = 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , displaystyle eginalignedfrac abc2S&=frac abc2sqrt s(s-a)(s-b)(s-c)\<6pt>&=frac 2abcsqrt (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4),endaligned trong kia S là diện tích của tam giác với s là nửa chu vi của nó. S = a + b + c 2 . displaystyle s=frac a+b+c2. Công thức thiết bị hai có áp dụng đến công thức Heron. Các dạng khácSửa đổi Từ hình vẽ bên, ta nhấn thấy: sin A = h b and sin B = h a . displaystyle sin A=frac hb ext and sin B=frac ha. Do kia h = b sin A = a sin B displaystyle h=bsin A=asin B, và a sin A = b sin B . displaystyle frac asin A=frac bsin B. Làm tương tự, ta có: b sin B = c sin C . displaystyle frac bsin B=frac csin C. Diện tích tam giác S displaystyle S được tính bởi phương pháp S = 1 2 b c sin A = 1 2 a c sin B = 1 2 a b sin C . displaystyle S=frac 12bcsin A=frac 12acsin B=frac 12absin C,. Nhân hai vế cùng với 2 / a b c displaystyle 2/abc ta được 2 S a b c = sin A a = sin B b = sin C c . displaystyle frac 2Sabc=frac sin Aa=frac sin Bb=frac sin Cc,. Định lý sin vào tứ diệnSửa đổi Một tứ diện với những đỉnh O, A, B, C và những góc OAB, OBC, OCA, OAC, OCB, OBA. Một hệ quả của định lý sin là: vào tứ diện OABC ta tất cả sin O A B sin O B C sin O C A = sin O A C sin O C B sin O B A . displaystyle eginaligned&quad sin angle OABcdot sin angle OBCcdot sin angle OCA\&=sin angle OACcdot sin angle OCBcdot sin angle OBA.endaligned Định lý cosĐịnh lý tangCông thức MollweideCông thức nửa cạnhTham khảoSửa đổi^ Coxeter, H. S. M. & Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1-3, 1967Liên kết ngoàiSửa đổiThe Law of SinesDegree of CurvatureFinding the Sine of 1 Degree |
