I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
4. Góc giữa 2 đường thẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
* Cách tính 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q)qua M1và vuông góc với Δ.
Bạn đang xem: Phương trình đường thẳng oxyz
- Tìm tọa độ giao điểm H củaΔvà mặt phẳng (Q).
- d(M1,Δ) = M1H
* Cách tính 2:
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
* Cách tính 1:
- Viết phương trình mặt phẳng(Q)chứa (Δ)và song song với (Δ1).
- Tính khoảng cách từ M0M1tới mặt phẳng (Q).
- d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)
* Cách tính 2:
II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian
Dạng 1: ViếtPT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP
Phương pháp:
Lời giải:
Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Phương pháp
Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);
Lời giải:
Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳngΔ
Phương pháp
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:
Lời giải:
Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).
Phương pháp
Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d)đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0
Lời giải:
Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).
Phương pháp:
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:
Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp
- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A"x + B"y + C"z + D" = 0;
Phương pháp:
+ Cách giải 1:
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)
- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
+ Cách giải 3:
- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng(P): 2x+y-z-3=0 và(Q): x+y+z-1=0.
Lời giải:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).
Phương pháp
- Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).
- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)
- Chú ý:Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d làđiểm H=d∩(P)
Lời giải:
-Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0
⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0
Q⊥ P⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0
⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0⇔ -m + 8n = 0
Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0
- Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d"là giao tuyến của P và Q,phương trình của d’ sẽ là:
Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.
- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2)
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α)∩ (β)
+ Cách giải 3:
- Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2
- Bước 2:Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C
- Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d1:
Lời giải:
- Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1và cắt cả hai đường thẳng d2và d3.
Phương pháp
- Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1và chứa d2.
- Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1và chứa d3.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q)
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng(d)song song với trụcOxvà cắt(d1),(d2)có PT:
Lời giải:
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1.
- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2)
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
- Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α)∩ (β)
Lời giải:
- PT mp (P)⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT:2x - 5y + z + D = 0
- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0⇒ D = 2
⇒ PT mp (P):2x - 5y + z + 2 = 0
- Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)
Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’
Phương pháp:
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).
- Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q)
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)
- Bước 2: Tìm giao điểm B = (P)∩ d’
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Lời giải:
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2cho trước .
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)
- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng:
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳngΔ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;
Lời giải:
- Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọađộ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)
- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0⇔ t = 1⇒ A(1;0;2)
- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0⇔ s = 1⇒ B(2;3;1)
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).
Phương pháp
Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1điểm M thuộc d).
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1; N(x0"+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)∈ d2là chân cácđường vuông góc chung của d1và d2.
- Bước 2: Ta có
- Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.
- Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải:
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1và d2.
Phương pháp:
- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1và vuông góc với (P).
- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2và vuông góc với (P).
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q).
Lời giải:
Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Xem thêm: 5 1 Là Cung Gì - Sinch Ngày 5/1 Là Cung Gì
Phương pháp:
- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.