ÔN TẬP CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ 11

Lý thuyết

1. §1. Phương pháp quy nạp toán học

2. §2. Dãy số

3. §3. Cấp số cộng

4. §4. Cấp số nhân

Bài tập Ôn tập chương III

Khi nào thì cung cấp số cộng là hàng số tăng, dãy số giảm?

Trả lời:

Xét cung cấp số cộng ((u_n)) cùng với (u_n+1= u_n+ d)

Ta có: (u_n+1– u_n= d)

Nếu (d > 0Rightarrow u_n+1> u_n)

Nếu (d 0); sút nếu (d

2. Giải bài xích 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp cho số nhân gồm (u_1 0)?

b) (q 0 hfill cr u_1 0) khi (n – 1) lẻ.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 đại số 11

3. Giải bài bác 3 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hai cấp số cộng gồm cùng số những số hạng. Tổng các số hạng tương xứng của chúng tất cả lập thành một cấp cho số cùng không? vì sao? đến ví dụ minh họa.

Trả lời:

Gọi ((u_n)) cùng ((a_n)) là hai cấp cho số cộng có công không đúng lần lượt là (d_1) và (d_2)và bao gồm cùng (n) số hạng.

Ta có:

(u_n= u_1+ (n-1)d_1)

(a_n= a_1+ (n-1)d_2)

(Rightarrow u_n+ a_n= u_1 +a_1+ (n – 1).(d_1+ d_2))

Vậy (u_n+ a_n) là cấp cho số cộng bao gồm số hạng đầu là (u_1+a_1) và công không nên là (d_1+d_2)

Ví dụ:

(2, 4, 6, 8 ,…) là cung cấp số cộng bao gồm công sai (d_1= 2)

(0, 5, 10, 15,…) là cung cấp số cộng tất cả công không nên (d_2= 5)

(⇒ 2, 9, 16, 23 ,…) là cung cấp số cộng bao gồm công không đúng là (d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7).

4. Giải bài 4 trang 107 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hai cấp số nhân gồm cùng số các số hạng. Tính những số hạng tương ứng của chúng tất cả lập thành cấp cho số nhân không? bởi sao? cho một ví dụ minh họa.

Trả lời:

Ta gồm ((a_n)) là cấp số nhân với ((b_n)) là cấp cho số nhân tương ứng.

Ta có:

(a_n = a_1.q_1^n – 1,q_1) là hằng số

(b_n = b_1.q_1^n – 1,q_2) là hằng số

Khi đó: (a_n.b_n = = a_1.q_1^n – 1.b_1.q_1^n – 1 = (a_1b_1)(q_1q_2)^n – 1)

Vậy dãy số (a_nb_n) là 1 cấp số nhân gồm công bội : (q = q_1.q_2)

Ví dụ:

(1, 5, 25 ,…) là cung cấp số nhân bao gồm công bội (q_1= 5)

(3, 9, 27, …) là cấp cho số nhân gồm công bội (q_2= 3)

Suy ra: (3, 45, 675…) là cấp số nhân tất cả công bội: (q = q_1q_2= 5.3 = 15).

5. Giải bài 5 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng với đa số (nin mathbb N^*), ta có:

a) (13^n-1) phân chia hết cho 6;

b) (3n^3+ 15n) chia hết cho 9.

Bài giải:

a) với (n = 1), ta có:

(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6)

Giả sử: ((13^k- 1) ⋮ 6) với tất cả (k ≥ 1)

Ta hội chứng minh: (13^k+1– 1) phân tách hết mang đến (6)

Thật vậy:

(13^k + 1-1= 13^k + 1-13^k + 13^k – 1 = 12.13^k + 13^k-1)

Vì : (12.13^k ⋮ 6) và ((13^k– 1) ⋮ 6) (theo giả thiết quy nạp)

(Rightarrow (13^k+1– 1) ⋮ 6)

Vậy ((13^n-1)) phân chia hết mang đến 6

b) cùng với (n = 1), ta có: (3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9)

Giả sử: ((3k^3+ 15k) ⋮ 9).

Ta triệu chứng minh: (<3(k + 1)^3+ 15(k + 1)> ⋮ 9)

Thật vậy:

(3left( k + 1 ight)^3 + 15left( k + 1 ight) )

(= 3.(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 15left( k + 1 ight))

(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18)

(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2))

Vì ((3k^3 + 15k) ⋮ 9)(theo giả thiết quy nạp) cùng (9(k^2+ k + 2) ⋮ 9)

(Rightarrow <3(k + 1)^3+ 15(k + 1)> ⋮ 9)

Vậy: (3n^3+ 15n) phân chia hết mang lại 9 với mọi (nin mathbb N^*)

6. Giải bài 6 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàng số ((u_n)), biết (u_1= 2, u_n+1 =2u_n– 1)(với (n ≥ 1))

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) hội chứng minh: (u_n= 2^n-1+ 1)bằng cách thức quy nạp.

Bài giải:

a) Ta có năm số hạng đầu của hàng là:

(u_1 = 2)

(u_2 = 2u_1-1 = 2.2-1=3)

(u_3 = 2u_2-1 = 2.3-1=5)

(u_4 = 2u_3 – 1 = 2.5-1=9)

(u_5 = 2u_4-1 = 2.9-1=17)

b) với (n = 1), ta có: (u_1= 2^1-1+ 1 = 2) phương pháp đúng.

Giả sử công thức đúng cùng với (n = k)

Hay (u_k = 2^k – 1 + 1)

Ta chứng minh công thức cũng như với (n = k + 1)

Hay là ta yêu cầu phải chứng tỏ (u^k + 1 = 2^left( k + 1 ight) – 1 + 1 = 2^k + 1)

Ta có: (u_k + 1 = 2u_k – 1 = 2(2^k – 1 + 1) – 1 = 2.2^k – 1 + 2-1 = 2^k + 1) (đpcm)

Vậy (u_n= 2^n-1+ 1) với đa số (nin mathbb N^*).

7. Giải bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số ((u_n)), biết:

a) (u_n = n + 1 over n);

b) (u_n = ( – 1)^nsin 1 over n);

c) (u_n = sqrt n + 1 – sqrt n ).

Bài giải:

a) Xét hiệu:

$u_n +1 -u_n= left ( n+1+frac1n+1 ight ) – left ( n+frac1n+1 ight )$

(= 1 + frac1n+1 – frac1n = fracn^2+n-1n(n+1),n in N^*)

Vậy (u_n) là hàng số tăng (1)

Ta lại có: (u_n = n + 1 over n ge 2sqrt n.1 over n = 2,forall n in N^*)

Nên (u_n) là hàng số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi (n) càng béo thì (u_n) càng lớn yêu cầu (u_n) là hàng số không xẩy ra chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta gồm (u_n) là hàng số tăng và bị ngăn dưới.

b) Ta có:

(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0)

$u_2=(-1)^1.sinfrac12=-sinfrac120$

$Rightarrow u_1> u_2$và $u_2 sqrt n + 1 hfill cr sqrt n + 1 > sqrt n hfill cr} ight.)

(Rightarrow sqrt n + 2 + sqrt n + 1 > sqrt n + 1 + sqrt n )

(Rightarrow 1 over sqrt n + 2 + sqrt n + 1 0,forall n in N*)

Suy ra: un là hàng số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: cùng với n ≥ 1 thì (sqrt n + 1 + sqrt n ge sqrt 2 + 1)

Nên (u_n = 1 over sqrt n + 1 + sqrt n le 1 over sqrt 2 + 1)

Suy ra: (u_n) là dãy số bị ngăn trên (3)

Từ (1), (2) cùng (3) ta có: (u_n) là hàng số bớt và bị chặn.

8. Giải bài xích 8 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm số hạng đầu (u_1) và công sai (d) của những cấp số cùng (un) biết:

a) (left{ matrix5u_1 + 10u_5 = 0 hfill cr S_4 = 14 hfill cr ight.)

b) (left{ matrixu_7 + u_15 = 60 hfill cr u_4^2 + u_12^2 = 1170 hfill cr ight.)

Bài giải:

a) Ta có:

(left{ matrix 5u_1 + 10u_5 = 0 hfill cr S_4 = 14 hfill cr ight.)

$Leftrightarrow left{eginmatrix5u_1+10(u_1+4d)=0 và \ frac4(2u_1+3d)2=14 và endmatrix ight.$

(Leftrightarrow left{ matrix3u_1 + 8d = 0 hfill cr 2u_1 + 3 chiều = 7 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrixu_1 = 8 hfill cr d = – 3 hfill cr ight.)

Vậy số hạng đầu (u_1= 8), công sai (d = -3)

b) Ta có:

(left{ matrix u_7 + u_15 = 60 hfill cr u_4^2 + u_12^2 = 1170 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix (u_1 + 6d) + (u_1 + 14d) = 60 (1) hfill cr (u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 (2) hfill cr ight.)

Giải phương trình (1) ta được:

(2u_1+ 20d = 60 Leftrightarrow u_1= 30 – 10d)

Thế vào phương trình (2) ta được phương trình (2) tương đương:

(<(30 – 10d) + 3d>^2+ <(30 – 10d) + 11d>^2= 1170)

(Leftrightarrow (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170)

(Leftrightarrow 900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170)

(Leftrightarrow 50d^2– 360d + 630 = 0)

( Leftrightarrow left< matrixd = 3 Rightarrow u_1 = 0 hfill cr d = 21 over 5 Rightarrow u_1 = – 12 hfill cr ight.)

Vậy (left{ matrix u_1 = 0 hfill cr d = 3 hfill cr ight.)hoặc (left{ matrix u_1 = – 12 hfill cr d = 21 over 5 hfill cr ight.)

9. Giải bài bác 9 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm số hạng đầu (u_1) với công bội của các cấp số nhân ((u_n)), biết:

a) (left{ matrixu_6 = 192 hfill cr u_7 = 384 hfill cr ight.)

b)(left{ matrixu_4 – u_2 = 72 hfill cr u_5 – u_3 = 144 hfill cr ight.)

c) (left{ matrixu_2 + u_5 – u_4 = 10 hfill cr u_3 + u_6 – u_5 = 20 hfill cr ight.)

Bài giải:

a) Ta có: (left{ matrix u_6 = 192 hfill cr u_7 = 384 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q^5 = 192 (1) hfill cr u_1.q^6 = 384 (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) chia (1) theo vế tương xứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được

(Leftrightarrow u_1.2^5= 192 Leftrightarrow u_1= 6)

Vậy (u_1= 6; q = 2).

b) Ta có: (left{ matrix u_4 – u_2 = 72 hfill cr u_5 – u_3 = 144 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q^3 – u_1.q = 72 hfill cr u_1.q^4 – u_1.q^2 = 144 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q(q^2 – 1) = 72 (1) hfill cr u_1.q^2(q^2 – 1) = 144 (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) phân tách (1) theo vế khớp ứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được:

(Leftrightarrow 2u_1(4 – 1) = 72 Leftrightarrow u_1= 12)

Vậy (u_1= 12; q = 2)

c) Ta có: (left{ matrix u_2 + u_5 – u_4 = 10 hfill cr u_3 + u_6 – u_5 = đôi mươi hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q + u_1.q^4 – u_1.q^3 = 10 hfill cr u_1.q^2+u_1.q^5-u_1.q^4 = trăng tròn hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1q(1 + q^3 – q^2) = 10 (1) hfill cr u_1q^2(1 + q^3 – q^2) = trăng tròn (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) phân chia (1) theo vế tương xứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được:

(1) (Leftrightarrow 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 Leftrightarrow u_1= 1)

Vậy (u_1= 1; q = 2)

10. Giải bài xích 10 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11

Tứ giác (ABCD) có số đo (độ) của những góc lập thành một cấp cho số cộng theo sản phẩm tự (A, B, C, D). Hiểu được góc (C) gấp bốn lần góc (A). Tính các góc của tứ giác.

Bài giải:

Theo mang thiết ta có: (A, B, C, D) là một trong những cấp số cộng và (widehat C = 4widehat A)

Giả sử cấp cho số cộng tạo thành bao gồm công không đúng là: (d).

Theo đặc điểm của cấp cho số cộng ta có:

$left{eginmatrixwidehat B=widehat A+d và \ widehat C=widehat A+2d và \ widehat D=widehat A+3d và endmatrix ight.$

(Rightarrow widehat A+2d= 4widehat ALeftrightarrow 3widehat A-2d=0) (1)

Ta lại có: (widehat A+widehat B+ widehat C+widehat D=360^0)

(Leftrightarrow 4widehat A +6d=360^0) (2)

Ta được hệ: $left{eginmatrix3widehat A-2d=0 và \ 4widehat A +6d=360^0 & endmatrix ight.$

$Leftrightarrow left{eginmatrixd=41,5^0 & \ widehat A = 27,7^0=27^042′ & endmatrix ight.$

$Rightarrow widehat B=widehat A+d=27,7^0+41,5^0=69,2^0=69^012’$

$Rightarrow widehat C=widehat A+2d=27,7^0+2.41,5^0=110,7^0=110^042’$

$Rightarrow widehat D=widehat A+3d=27,7^0+3.41,5^0=152,2^0=152^012’$

Vậy (widehat A = 27^042′; widehat B = 69^012′ ; widehat C = 110^042′ ; widehat D = 152^012′ ).

11. Giải bài bác 11 trang 108 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Biết rằng ba số (x, y, z) lập thành một cung cấp số nhân và ba số (x, 2y, 3z) lập thành một cung cấp số cộng. Tra cứu công bội của cấp cho số nhân.

Bài giải:

Ba số (x, y, z) lập thành một cấp số nhân buộc phải ta có:

(y = x.q; z = y.q = x.q^2),với q là công bội

Ba số (x, 2y, 3z) lập thành một cung cấp số cộng nên ta có:

(x + 3z = 4y)

(Leftrightarrow x + 3.(xq^2) = 4.(xq))

(Leftrightarrow x. (1 + 3q^2– 4q) = 0)

(Leftrightarrow x = 0)

Hay (3q^2– 4q + 1 = 0)

Nếu $x = 0$thì (x = y= z= 0), q là một trong những tùy ý

Nếu (x ≠ 0)thì:

(3q^2- 4q + 1 = 0)

(Leftrightarrow left< matrix q = 1 hfill cr q = 1 over 3 hfill cr ight.)

Vậy công bội của cung cấp số nhân là $q=1$hoặc $q=frac13$

12. Giải bài 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11

Người ta thiết kế một tháp bao gồm $11$ tầng. Diện tích bề mặt trên của từng tầng bởi nửa diện tích s mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt phẳng trên của tầng trệt dưới bằng nửa diện tích s đế tháp. Biết diện tích s mặt đế tháp là (12 288) (m^2). Tính diện tích mặt trên cùng.

Bài giải:

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân tất cả số hạng đầu:

(u_1= 12 288) (m^2) cùng công bội (q = 1 over 2)

Vậy diện tích mặt trên thuộc là:

(u_12 = u_1.q^12-1 =u_1.q^11= 12288.(1 over 2)^11 = 6m^2)

13. Giải bài 13 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng nếu các số (a^2,b^2,c^2)lập thành một cấp cho số cộng ((abc ≠ 0))thì các số (1 over b + c,1 over c + a;1 over a + b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài giải:

Ta cần chứng minh: (1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a)

Biến thay đổi ta có:

(1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a)

(Leftrightarrow 1 over b + c – 1 over c + a = 1 over c + a – 1 over a + b)

(Leftrightarrow c + a – b – c over (c + a)(b + c) = a + b – c – a over (c + a)(a + b))

(Leftrightarrow a – b over b + c = b – c over a + b)

(Leftrightarrow a^2 – b^2 = b^2 – c^2)

$Leftrightarrow a^2 + c^2 = 2b^2$

Do đó (1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a) đúng vày (a^2,b^2,c^2) lập thành cung cấp số cộng.

Vậy (1 over b + c,1 over c + a;1 over a + b) là cấp cho số cộng.

Bài tập trắc nghiệm

14. Giải bài bác 14 trang 108 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàng số ((u_n)), biết (u_n= 3^n). Hãy lựa chọn phương án đúng:

a) Số hạng (u_n+1) bằng:

(A) (3^n+1) ; (B) (3^n+ 3) ; (C) (3^n.3) ; (D) (3(n+1)).

b) Số hạng (u_2n) bằng:

(A) (2.3^n) ; (B) (9^n) ; (C) (3^n+ 3) ; (D) (6n).

c) Số hạng (u_n-1) bằng:

(A) (3^n-1) ; (B) (1over 3.3^n) ; (C) (3^n– 3) ; (D) (3n – 1).

d) Số hạng (u_2n-1) bằng:

(A) (3^2.3^n-1) ; (B) (3^n.3^n-1) ; (C) (3^2n- 1) ; (D) (3^2(n-1)).

Trả lời:

a) Ta có: (u_n + 1 = 3^n + 1 = 3^n.3)

⇒ lựa chọn đáp án: (C).

b) Ta có: (u_2n = 3^2n = (3^2)^n = 9^n),

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

c) Ta có: (u_n – 1 = 3^n – 1 = 3^n.3^ – 1 = 3^n over 3)

⇒ chọn đáp án: (B).

d) Ta có: (u_2n – 1 = 3^2n – 1=3^n.3^n-1)

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

15. Giải bài 15 trang 108 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Hãy cho biết dãy số ((u_n)) như thế nào dưới đấy là dãy số tăng, trường hợp biết cách làm số hạng bao quát (u_n) của chính nó là:

Trả lời:

Xét từng phương pháp ta có:

Phương án (A) ko được vì dãy số gồm chứa nhân tử (left( – 1 ight)^n + 1)

Nên những số hạng sẽ có dấu (-); (+) xen kẽ, do đó, (u_n) cần thiết là dãy số tăng.

Phương án (C) :

(eqalign & u_3 = 1 over sqrt 3 + 1 + 1 = 1 over 3 cr và u_8 = 1 over sqrt 8 + 1 + 1 = 1 over 4 cr )

(⇒ u_8 0, ∀ n ∈ mathbb N^*)

(Rightarrow u_n) là dãy số tăng

⇒ chọn đáp án: (B).

16. Giải bài bác 16 trang 109 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho cung cấp số cộng (-2, x, 6, y). Hãy chọn tác dụng đúng vào các công dụng sau:

Trả lời:

Theo trả thiết: (-2, x, 6, y) là cung cấp số cộng.

(Rightarrow left{ matrix 2x = ( – 2) + 6 hfill cr 2.6 = x + y hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix x = 2 hfill cr y = 10 hfill cr ight.)

⇒ chọn đáp án: (D).

17. Giải bài 17 trang 109 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho cấp số nhân (-4, x, -9). Hãy chọn hiệu quả đúng vào các kết quả sau:

Trả lời:

Ta có: (-4, x, -9) là cha số hạng của một cấp cho số nhân nên:

(x^2= (-4). (-9) = 36)

(Leftrightarrow x = 6)

⇒ chọn đáp án: (C).

18. Giải bài 18 trang 109 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho cấp cho số cùng ((u_n)). Nên chọn lựa hệ thức đúng trong những hệ thức sau:

(A) (u_10 + u_20 over 2 = u_5 + u_10) ;

(B) (u_90 + u_210 = 2u_150) ;

(C) (u_10u_30 = m5 u_20) ;

(D) (u_10.u_30 over 2 = u_20).

Trả lời:

Ta có:

(left{ matrixu_90 = u_1 + 89d hfill cr u_210 = u_1 + 209d hfill cr ight.)

(Rightarrow u_90 + u_210 = 2u_1 + 298d)

(Rightarrow u_90 + u_210 over 2 = u_1 + 149d = u_150)

⇒ chọn đáp án: (B).

19. Giải bài 19 trang 109 sgk Đại số với Giải tích 11

Trong các dãy số cho bởi cách làm truy hồi sau, hãy lựa chọn dãy số là cấp cho số nhân:

(A) (left{ matrixu_1 = 2 hfill cr u_n + 1 = u_n^2 hfill cr ight.)

(B) (left{ matrixu_1 = – 1 hfill cr u_n + 1 = 3u_n hfill cr ight.)

(C) (left{ matrixu_1 = – 3 hfill cr u_n + 1 = u_n + 1 hfill cr ight.)

(D) (7,77,777,….underbrace 777..77_n)

Trả lời:

Ta có:

(left{ matrix u_1 = – 1 hfill cr u_n + 1 = 3u_n hfill cr ight.)

(Rightarrow left{ matrix u_n e 0 hfill cr u_n + 1 over u_n = 3 hfill cr ight.)

Dãy ((u_n)) là cấp số nhân công bội (q = 3).

Xem thêm: Phổ Điểm Khối D Năm 2021 : Điểm Trung Bình Là 19,16, Phổ Điểm Thi Thpt Quốc Gia 2021 Khối D (D01: Văn

⇒ chọn đáp án: (B).

Bài trước:

Bài tiếp theo: