Bài viết hướng dẫn giải bài bác toán tìm nguyên hàm của các hàm số mũ và logarit bằng cách sử dụng những phương pháp: phụ thuộc nguyên hàm cơ bản, phân tích, đổi thay đổi và nguyên hàm từng phần … vào mỗi phương pháp sẽ có những ví dụ minh họa cụ thể với giải mã chi tiết.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của hàm số mũ
Để khẳng định nguyên hàm của các hàm số mũ với logarit ta phải linh hoạt lựa lựa chọn 1 trong các cách thức cơ bạn dạng sau:1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.2. Cách thức phân tích.3. Cách thức đổi biến.4. Cách thức nguyên hàm từng phần.
Dạng toán 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ cùng logarit dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản.Bằng các phép biến hóa đại số, ta chuyển đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ phiên bản đã biết.
Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm của các hàm số sau:a) $f(x) = frac1e^x – e^ – x.$b) $frac2^2x3^x16^x – 9^x.$
a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdleft( e^x ight)e^2x – 1 $ $ = frac12ln left| frace^x – 1e^x + 1 ight| + C.$b) Chia tử số và mẫu mã số của biểu thức dưới vết tích phân mang lại $4^x$, ta được:$int f (x)dx$ $ = int fracleft( frac43 ight)^xleft( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43int fracdleft< left( frac43 ight)^x ight>left( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43.frac12ln left| fracleft( frac43 ight)^x – 1left( frac43 ight)^x + 1 ight| + C$ $ = frac12(ln 4 – ln 3)ln left| frac4^x – 3^x4^x + 3^x ight| + C.$
Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của những hàm số sau:a) $f(x) = frac11 + 8^x.$b) $f(x) = fracln (ex)3 + xln x.$
a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac11 + 8^x dx$ $ = int left( 1 – frac8^x1 + 8^x ight) dx$ $ = x – fracln left( 1 + 8^x ight)ln 8 + C.$b) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac1 + ln x3 + xln x dx$ $ = int fracd(xln x)3 + xln x $ $ = int fracd(3 + xln x)3 + xln x $ $ = ln |3 + xln x| + C.$
Dạng toán 2: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp phân tích. họ đã được thiết kế quen với phương thức phân tích nhằm tính các xác minh nguyên hàm nói chung. Bây giờ đi coi xét chi tiết hơn về việc sử dụng phương thức này để xác minh nguyên hàm của các hàm số mũ với logarit. Yêu cầu hiểu rằng thực chất nó là 1 trong những dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng tại đây ta thực hiện các đồng điệu thức quen thuộc.
Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac11 – e^x.$
Sử dụng đồng bộ thức: $1 = left( 1 – e^x ight) + e^x$, ta được:$frac11 – e^x$ $ = fracleft( 1 – e^x ight) + e^x1 – e^x$ $ = 1 + frace^x1 – e^x.$Suy ra: $int f (x)dx$ $ = int left( 1 + frace^x1 – e^x ight) dx$ $ = int d x – int fracdleft( 1 – e^x ight)1 – e^x $ $ = x – ln left| 1 – e^x ight| + C.$
Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int e^x sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 dx$ $ = int sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 dleft( e^x – 1
ight)$ $ = frace^x – 12sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| left( e^x – 1
ight) + sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1
ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2
ight| + C.$Chú ý: Nếu các em học viên thấy cạnh tranh hình cần sử dụng một cách cặn kẽ cách biến đổi để mang về dạng cơ phiên bản trong vấn đề trên thì tiến hành theo hai cách sau:Bước 1: thực hiện phép đổi thay đổi $t = e^x$, suy ra:$dt = e^xdx.$$e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 dx$ $ = sqrt t^2 – 2t + 2 dt$ $ = sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Khi đó: $int f (x)dx = int sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Bước 2: thực hiện phép thay đổi biến $u = t – 1$, suy ra:$du = dt.$$sqrt (t – 1)^2 + 1 dt = sqrt u^2 + 1 du.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt u^2 + 1 du$ $ = fracu2sqrt u^2 + 1 $ $ + frac12ln left| u + sqrt u^2 + 1
ight| + C$ $ = fract – 12sqrt (t – 1)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| t – 1 + sqrt (t – 1)^2 + 1
ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2
ight| + C.$
Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt 1 + e^2x .$
Ta có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta có:$fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = frace^ – xdxsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 .$Khi đó:$int f (x)dx$ $ = – int fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 + e^2x $, suy ra:$t^2 = 1 + e^2x$ $ Rightarrow 2tdt = 2e^2xdx$ $ Leftrightarrow dx = fractdtt^2 – 1.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fractdttleft( t^2 – 1 ight) $ $ = int fracdtt^2 – 1 $ $ = frac12ln left| fract – 1t + 1 ight| + C$ $ = frac12ln left| fracsqrt 1 + e^2x – 1sqrt 1 + e^2x + 1 ight| + C.$Cách 3: Đặt $t = e^x$, suy ra $dt = e^xdx.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdttsqrt 1 + t^2 $ $ = int fracdtt^2sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – int fracdleft( frac1t ight)sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – ln left| frac1t + sqrt frac1t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 4: Đặt $t = e^ – x$, suy ra:$dt = – e^ – xdx$ $ Leftrightarrow – dt = fracdxe^x.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = int fracdxsqrt e^2xleft( e^ – 2x + 1 ight) $ $ = int fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = int frac – dtsqrt t^2 + 1 $ $ = – int fracdtsqrt t^2 + 1 $ $ = – ln left| t + sqrt t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left| e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight| + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1e^x – 4e^ – x.$
Đặt $e^x = t$, suy ra $e^xdx = dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxe^x – 4e^ – x $ $ = int frace^xdxe^2x – 4 $ $ = int fracdtt^2 – 4 $ $ = ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = ln left| frace^x – 2e^x + 2 ight| + C.$
Dạng toán 4: tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.Chúng ta đã được biết thêm trong phần xác định nguyên sản phẩm bằng phương thức nguyên hàm từng phần, so với các dạng nguyên hàm:Dạng 1: Tính: $int e^ax cos (bx)$ hoặc $int e^ax sin (bx)$ với $a,b
e 0.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = cos (bx)\dv = e^axdxendarray
ight.$ hoặc $left{ eginarray*20lu = sin (bx)\dv = e^axdxendarray
ight.$Ngoài ra cũng hoàn toàn có thể sử dụng phương thức hằng số bất định.
Xem thêm: Giải Thích Câu Tục Ngữ Một Cây Làm Chẳng Nên Non Ba Cây Chụm Lại Nên Hòn Núi Cao
Dạng 2: Tính: $int p (x)e^alpha xdx$ với $alpha in R^*.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = P(x)\dv = e^alpha xdxendarray
ight.$Ngoài ra cũng có thể sử dụng cách thức hằng số bất định.
Ví dụ 1: kiếm tìm nguyên hàm $I = int x ln frac1 – x1 + xdx.$
Đặt $left{ eginarray*20lu = ln frac1 – x1 + x\dv = xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = frac – 11 – x^2dx\v = frac12x^2endarray ight.$Khi đó: $I = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int fracx^22left( 1 – x^2 ight) dx$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int left( frac12left( 1 – x^2 ight) – frac12 ight) dx + C$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + frac14ln left| frac1 + x1 – x ight| – frac12x + C.$
Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an ^2x + an x + 1 ight)e^x.$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an ^2x + an x + 1 ight) e^x$ $ = int left( an ^2x + 1 ight) e^x + int e^x an xdx$ $(1).$Xét tích phân $J = int e^x an xdx$, đặt:$left{ eginarray*20lu = an x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxcos ^2x = left( 1 + an ^2x ight)dx\v = e^xendarray ight.$Khi đó: $J = e^x an x – int left( an ^2x + 1 ight) e^x$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $int f (x)dx = e^x an x + C.$