1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của 1 x 1

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: Biểu thị f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: Khi đó $I = \int {f\left( x \right)dx} $ $ = \int {g\left( t \right)dt} $ $ = G\left( t \right) + C$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $I = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} $

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chọn $t = \sqrt {\ln x + 1} \Rightarrow {t^2} = \ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: Biểu thị $\int {f\left( x \right)dx} = – \frac{1}{3}\int {\frac{1}{t}.dt} $Bước 4: Khi đó $I = – \frac{1}{3}\ln \left| t \right| + C$ $ = – \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến dạng 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: Tìm được v dễ dàng và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {2x} \right)\\ dv = x.dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.$

Bước 2: Ta thấy $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x} \right) – \int {\frac{1}{x}.\frac{{{x^2}}}{2}} dx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x} \right) – \frac{{{x^2}}}{4} + C$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\left( {\ln \left( {2x} \right) – \frac{1}{2}} \right) + C$

Dạng 4. cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $\int {f\left( x \right)dx} $ = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn cách bấm máy tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: Nhấn shift $\frac{d}{{dx}}\left( {F\left( x \right)} \right){|_{x = X}} – f\left( X \right)$

Bước 2: Nhấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $\frac{1}{{2x + 3}}$ là

A. $\frac{1}{2}.ln\left| {2x + 3} \right| + C$

B. $\frac{1}{2}.ln\left( {2x + 3} \right) + C$

C. ln|2x + 3| + C

D. $\frac{1}{{\ln 2}}.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm máy tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}.\ln \left( {\left| {2x + 3} \right|} \right)} \right){|_{x = X}} – \frac{1}{{2x + 3}}$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $\left< \begin{array}{l} I = \int {P(x)\sin axdx} \\ I = \int {P(x)c{\rm{osaxdx}}} \end{array} \right.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = P(x)\\ dv = \left< \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inaxdx}}\\ {\rm{cosaxdx}} \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = P"(x)dx\\ v = \left< \begin{array}{l} \frac{{ – 1}}{a}c{\rm{osax}}\\ \frac{{\rm{1}}}{{\rm{a}}}\sin ax \end{array} \right. \end{array} \right.$Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán Nam Định 2021, Đề Thi Vào 10 Môn Toán Nam Định 2021

* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = \int {P(x)c{\rm{osaxdx}}} $ ${{\rm{ = A(x)sinax + B(x)cosax + C}}}$ $(1)$, trong đó $A(x)$ và $B(x)$ là các đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c{\rm{osax}}$ ${\rm{ = A"(x)cosax – A(x)a}}{\rm{.sinax}}$ ${\rm{ + B"(x)sinax + aB(x)cosax}}.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $\int {x{{\sin }^2}xdx} .$

Giải

Ta có: $I = \int {x\left( {\frac{{1 – c{\rm{os2x}}}}{2}} \right)dx} $ ${ = \frac{1}{2}\int {xdx} – \frac{1}{2}\int {x\cos 2xdx} }$ ${ = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}J}$ $(1).$

Tính: $J = \int {x\cos 2xdx} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = c{\rm{os2xdx}} \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}\sin 2x \end{array} \right.$ $ \Rightarrow J = \frac{x}{2}\sin 2x – \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} $ ${ = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}c{\rm{os2x + C}}}.$

Thay vào $(1)$: $I = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}c{\rm{os2x}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {{x^2} – x\sin 2x – \frac{1}{2}c{\rm{os2x}}} \right) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = \int {\left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx} .$

Giải

Theo nhận xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = \int {\left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx} $ $ = \left( {{a_1}{x^3} + {b_1}{x^2} + {c_1}x + {d_1}} \right)c{\rm{osx}}$ ${\rm{ + }}\left( {{a_2}{x^3} + {b_2}{x^2} + {c_2}x + {d_2}} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ \Leftrightarrow \left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ ${\rm{ = <}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{x^3} + \left( {3{a_1} + {b_2}} \right){x^2}$ $ + \left( {2{b_1} + {c_2}} \right)x + {c_1} + {d_2}{\rm{>cosx}}$$ – <{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{x^3} – \left( {3{a_2} – {b_1}} \right){x^2}$ $ – \left( {2{b_2} – {c_1}} \right)x + {c_2} – {d_1}>\sin x$ $(2).$

Đồng nhất thức ta được: $\left\{ \begin{array}{l} {a_2} = 0\\ 3{a_1} + {b_2} = 0\\ 2{b_1} + {c_2} = 0\\ {c_1} + {d_2} = 0 \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} – {a_1} = 1\\ 3{a_2} – {b_1} = – 1\\ 2{b_2} – {c_1} = 2\\ – {c_2} + {d_1} = – 3 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = – 1;{a_2} = 0\\ {b_1} = 1;{b_2} = 3\\ {c_1} = 4;{c_2} = – 2\\ {d_1} = 1;{d_2} = – 4 \end{array} \right.$

Khi đó: $I = \left( { – {x^3} + {x^2} + 4x + 1} \right)c{\rm{osx}}$ ${\rm{ + }}\left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} – 2x + 4} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + C}}.$