1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K giả dụ F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của 1 x 1

2. đặc điểm nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi đổi mới tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong các số ấy φ(x) là hàm số cơ mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1

*

c) Đổi biến dị 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm vị giác, hàm mũ).

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy kiếm tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đang hướng dẫn cách bấm laptop nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: dìm shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu hiệu quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì chính là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm thiết bị tính

Bước 1: Nhập vào máy tính xách tay casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong tác dụng A và C nếu mang đến X = 2 thì gần như cho công dụng là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì đến X một giá trị mang lại biểu thức vào trị tuyệt vời nhất âm.

Kết luận: Chọn lời giải A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, triển khai theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: rứa vào phương pháp nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như bên trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán Nam Định 2021, Đề Thi Vào 10 Môn Toán Nam Định 2021

Cách 2: Sử dụng cách thức hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số đó $A(x)$ với $B(x)$ là các đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: nếu bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì phương pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì khi ấy ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của nhiều thức, vì thế ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ hơn hoặc bởi $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng độc nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$