*

*

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và con đường cao vào tam giác vuông

Bài 1 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x và y trong những hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

*

Theo hệ thức contact giữ cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

*

b. Hình b:

Theo hệ thức contact giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

142 = y.16

*

x + y = 15 ⇒ x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75

Bài 2 trang 102 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x với y trong những hình sau:

*

Hình b

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức contact giữa cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

x2 = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

y2 = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = √48 = 4√3

b. Hình b:

Theo hệ thức tương tác giữa mặt đường cao cùng hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

x2 = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

Bài 3 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x và y trong các hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y2 = 72 + 92 ⇒ y = 

*

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y = 7.9 ⇒ x = 

*

b. Hình b:

Theo hệ thức contact giữa con đường cao với hình chiếu, ta có:

52 = x.x = x2 ⇒ x = 5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông cùng hình chiếu, ta có:

y2 = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 ⇒ y = √50 = 5√2

Bài 4 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x với y trong các hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức contact giữa mặt đường cao và hình chiếu, ta có:

32 = 2.x ⇒ x = 

*
 = 4,5

Theo hệ thức contact giữa cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

y2 = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = √29,25

b. Hình b:

Ta có: 

*
 

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y2 = BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 625

Suy ra: y = √625 = 25

Theo hệ thức tương tác giữa mặt đường cao với cạnh vào tam giác vuông, ta có:

x.y = 15.20 ⇒ x = 

*
 = 12

Bài 5 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giải bài toán trong những trường hợp sau:

a. Mang đến AH = 16, bh = 25. Tính AB, AC, BC, CH

b. Cho AB = 12, bảo hành = 6. Tính AH, AC, BC, CH

Lời giải:

*

a. Theo hệ thức contact giữa đường cao cùng hình chiếu, ta có: AH2= BH.CH

⇒ CH = 

*

BC = bảo hành + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ AB = 

*

≈ 29,68

AC2 = HC.BC

⇒ AC =

*
≈ 18,99

b. Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông cùng hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ BC = 

*
 = 24

CH = BC – bảo hành = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

AC2 = HC.BC ⇒ AC = 

*
 ≈ 20,78

Theo hệ thức liên hệ giữa mặt đường cao cùng hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH2 = HB.BC ⇒ AH = 

*

Bài 6 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác vuông với những cạnh góc vuông tất cả độ nhiều năm là 5 và 7, kẻ mặt đường cao ứng cùng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà lại nó chia nhỏ ra trên cạnh huyền.

Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông sbt

Lời giải:

*

Giả sử tam giác ABC có 

*
 , AB = 5, AC = 7

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

⇒ BC = 

*

Theo hệ thức contact giữa đường cao với cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC = AB.AC ⇒ AH = 

*

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ bảo hành = 

*

CH = BC – bh = 

*

Bài 7 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Đường cao của một tam giác vuông phân tách cạnh huyền thành hai tuyến phố thẳng bao gồm độ lâu năm là 3 cùng 4. Hãy tính những cạnh góc vuông của tam giác này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC tất cả góc BAC = 90o, AH ⊥ BC, bh = 3, CH = 4

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông cùng hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = √21

AC2 = CH.BC = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = √28 = 2√7

Bài 8 trang 103 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cạnh huyển của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 trong những cm và tổng của nhị cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyển là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC tất cả góc (BAC) = 90o

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm) (1)

AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 (3)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

(AB + 1)2 = AB2 + AC2

⇔ AB2 + 2AB + 1 = AB2 + 52

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Một tam giác vuông gồm cạnh huyền là 5 và mặt đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ dại nhất của tam giác vuông này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC bao gồm góc (BAC) = 90o, AH ⊥ BC, BC = 5, AH = 2 và bảo hành 2 = 22 = 4 (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra: bảo hành = 1 với CH = 4

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC = 1.5 = 5

Suy ra: AB = √5

Bài 10 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài những cạnh góc vuông với hình chiếu của những cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

*

Lời giải:

*

Bài 11 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng 

*
 , con đường cao AH = 30cm. Tính HB, HC.

*

Lời giải:

*

Bài 12 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hai vệ tinh sẽ bay tại đoạn A cùng B cùng bí quyết mặt đấy 230 km có nhìn thấy nhau hay là không nếu khoảng cách giữa chúng theo con đường thẳng là 2200 km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bởi 6370 km và hai vệ tinh nhận thấy nhau nếu như OH > R.

*

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng bí quyết mặt khu đất 230 km bắt buộc tam giác AOB cân nặng tại O.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

OA2 = AH2 + OH2

Suy ra: OH2 = OA2 – AH2

Suy ra:

OH =

*
≈ 6508 (km)

Vì OH > R cần hai vệ tinh thấy được nhau.

Bài 13 trang 104 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho nhị đoạn thẳng gồm độ lâu năm là a và b. Dựng các đoạn thẳng bao gồm độ dài khớp ứng bằng:

*

Lời giải:

*Cách dựng (hình a):

- Dựng góc vuông xOy.

- trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

- trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

- Nối AB, ta gồm đoạn AB = 

*
 cần dựng

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = a2 + b2

Suy ra: AB = 

*

*

*Cách dựng (hình b):

- Dựng góc vuông xOy

- bên trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

- Dựng cung tròn trọng điểm A, bán kính bằng a giảm Oy tại B.

Ta gồm đoạn OB = 

*
 (a > b) cần dựng.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2 = OA2 + OB2 ⇒ OB2 = AB2 – OA2 = a2 – b2

Suy ra: OB = 

*

*

Bài 14 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho nhì đoạn thẳng bao gồm độ nhiều năm là a cùng b. Dựng đoạn thẳng √(ab) như thế nào?

*

Lời giải:

*Cách dựng:

- Dựng đường thẳng t.

- trên phố thẳng t dựng tiếp tục hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

- Dựng nửa đường tròn trung tâm O đường kính AC.

- từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa con đường tròn trọng điểm O trên D

Ta gồm đoạn BD = √(ab) yêu cầu dựng.

*Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta tất cả ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức contact giữa con đường cao cùng hình chiếu, ta có:

BD2 = AB.BC = a.b

Suy ra: BD = √(ab)

Bài 15 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Giữa nhì tòa công ty (kho cùng phân xưởng) của một nhà máy, tín đồ ta thiết kế một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa công ty là 10m, còn hai vòng xoay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m cùng 4m so với phương diện đất. Tìm kiếm độ dài AB của băng chuyền.

*

Lời giải:

*

Kẻ bảo hành ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.

Ta có: BC = DH và bảo hành = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4(cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2 = BH2 + AH2

Suy ra: AB =

*
≈ 10,8 (m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.

Bài 16 trang 104 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác tất cả độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm kiếm góc đối diện với cạnh gồm độ nhiều năm 13 của tam giác.

*

Lời giải:

Ta có: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

Vì tam giác có tía cạnh với độ dài các cạnh vừa lòng định lí Pi-ta-go (bình phương một cạnh bởi tổng bình phương nhì cạnh còn lại) cho nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh lâu năm nhất) là góc vuông.

Bài 17 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo cánh AC thành nhì đoạn 

*
 m. Tính các size của hình chữ nhật.

Lời giải:

*

*

Suy ra: AB2 = 9.4 = 36 ⇒ AB = √36 = 6 (m)

BC2 = 16.4 = 64 ⇒ BC = √64 = 8 (m)

Vậy: AB = CD = 6m

BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A. Vẽ mặt đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

*

Lời giải:

Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét nhì tam giác vuông AHB với CHA, ta có:

*

Bài 19 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A có cạnh AB = 6cm cùng AC = 8cm. Các đường phân giác vào và quanh đó của góc B cắt đường thẳng AC thứu tự tại M và N. Tính những đoạn trực tiếp AM với AN.

*

Lời giải:

Vì BM là mặt đường phân giác của góc B phải ta có:

*

Vì BN là con đường phân giác của góc ko kể đỉnh B buộc phải ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức tương tác giữa đường cao và hình chiếu nhì cạnh góc vuông, ta có: AB2 = AM.AN

Suy ra: AN = 

*
 = 12 (cm)

Bài đôi mươi trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác vuông ABC. Xuất phát điểm từ một điểm M bất cứ trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với những cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2

*

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

BM2 = BD2 + DM2 => BD2 = BM2 – DM2 (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

CM2 = CE2 + EN2 => CE2 = CM2 – EM2 (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

AM2 = AF2 + FM2 => AF2 = AM2 – FM2 (3)

Cộng từng vế của (1), (2) với (3) ta có:

BD2 + CE2 + AF2 = BM2 – DM2 + CM2 – EM2 + AM2 – FM2 (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

BM2 = BF2 + FM2 (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

CM2 = CD2 + DM2 (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

AM2 = AE2 + EM2 (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

BD2 + CE2 + AF2

= BF2 + FM2 – DM2 + CD2 + DM2 – EM2 + AE2 + EM2 – FM2

= DC2 + EA2 + FB2

Vậy BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2.

Bài 1 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A có AB : AC = 3 : 4 và mặt đường cao AH bằng 9cm. Lúc ấy độ nhiều năm đoạn thẳng HC bằng

A.6cm;

B. 9cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương pháp đúng.

Lời giải:

Hướng dẫn:

ΔABC ∼ ΔHAC nên 

*

Suy ra HC = 4/3HA = 12. Lựa chọn C.

Bài 2 trang 105 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A tất cả AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ lâu năm đoạn trực tiếp HB bằng

A. 6cm;

B. 9,6cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương pháp đúng.

*Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta vẫn sử dụng những kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A bao gồm đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, bảo hành = c’, CH = b’.

Lời giải:

Hướng dẫn:

ΔABC ∼ ΔHBA nên 

*

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6. Lựa chọn B.

Bài 3 trang 105 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

a) Tính h, b, c giả dụ biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ ví như biết a = 9, c = 6.

Lời giải:

a) h2= b’c’ kéo theo h = 48; a = b’ + c’ = 100 tự b2= ab’ suy ra b = 60, từ bỏ c2 = ac’ suy ra c = 80.

b) c’ = c2/a = 4, b’ = a – c’ = 5, b2= ab’ = 45 phải b = 3√5; h2= b’c’ = 20, phải h = 2√5.

Bài 4 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy biểu hiện b’, c’ qua a, b, c.

Lời giải:

Từ b2 = ab’, c2 = ac’ suy ra b’ = b2/a, c’ = c2/a.

Bài 5 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Chứng minh rằng:

*

Lời giải:

a) nhị cách:

Cách 1: Dùng cách làm tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: dùng tam giác đồng dạng:

*

Bài 7 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ đường cao đến cạnh khủng nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà lại đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Vì 132 = 52 + 122 nên ΔABC là tam giác vuông trên A. điện thoại tư vấn AH là đường cao kẻ trường đoản cú A thì 

*

Bài 8 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tam giác ABC vuông trên A tất cả đường cao AH bởi 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC giả dụ biết HB : HC = 1 : 3.

Lời giải:

AH2 = HB. HC = 122 = 144 đề xuất HC = 3HB cần HB2 = 122/3 = 48, suy ra HB = 4√3, HC = 12√3 với BC = HB + HC = 16√3 (cm).

Bài 9 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, con đường trung tuyến đường BM. Hotline D là chân đường vuông góc kẻ từ C mang lại BM cùng H là chân mặt đường vuông góc kẻ trường đoản cú D cho AC. Vào các xác minh sau, xác minh nào đúng, xác định nào sai? trên sao?

a) ΔHCD ∼ ΔABM.

b) AH = 2HD.

Lời giải:

*

a) nhị tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn trên C) mà

ΔDCM ∼ ΔABM (vì là nhị tam giác vuông gồm ∠(DMC) = ∠(AMB), vậy ΔHCD ∼ ΔABM. Xác minh a) là đúng.

b) Theo câu a), từ bỏ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta tất cả HC Bài 10 trang 106 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh lòng AB bởi 6cm, bên cạnh AD bằng 4cm cùng hai đường chéo cánh vuông góc cùng với nhau. Tính độ dài những cạnh DC, CB và đường chéo cánh DB.

Lời giải:

*

Hai đường chéo cánh AC, BD cắt nhau trên H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

*

Kẻ con đường cao ông xã của tam giác ABC, dễ thấy KB = AB – DC = 6 - 8/3 = 10/3.

Xem thêm: Soạn Bài Tình Cảnh Lẻ Loi Của Người Chinh Phụ Lớp 10 Tập 2, Please Wait

*

Tam giác vuông ABD có DB2 = AB2 + AD2 = 62 + 42 = 52, từ đó DB = √52 = 2√13 (cm).