1. Hệ thức thân cạnh góc vuông và hình chiếu của chính nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương từng cạnh góc vuông bởi tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền.
Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh trong tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông trên A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"
2. Một số hệ thức liên quan đến con đường cao
a) Định lý 1
vào một tam giác vuông, bình phương con đường cao ứng cùng với cạnh huyền bởi tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền
vào tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b".c".
b) Định lý 2
vào một tam giác vuông, tích của nhị cạnh góc vuông bởi tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng
trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
trong tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương con đường cao ứng cùng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương nhị cạnh góc vuông.
trong tam giác ABC vuông trên A ta có:
3. Các dạng toán hay gặp về một số hệ thức về cạnh và mặt đường cao vào tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài những đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: cho tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai vào sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng vấn đề vận dụng những hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và con đường cao một cách phù hợp theo hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa những đoạn thẳng gồm trong hệ thức.
Bước 2. Tính những đoạn thẳng kia nhờ hệ thức về cạnh và con đường cao.
Bước 3. Liên kết những giá trị trên nhằm rút ra hệ thức yêu cầu chứng minh.
Chú ý: có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc chế tạo ra thành mặt đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
4. Ví dụ thế thể
Cho tam giác ABC vuông trên A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông tại A, ta gồm AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt bh = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy bảo hành = 5,4cm. Từ kia HC = BC - bảo hành = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính bh như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài bác tập từ luận
Bài 1: Tính x, y trong những trường hòa hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 tốt x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông trên A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông tại A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính hóa học tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Xem thêm: Giá Trị Hiện Thực Và Nhân Đạo Trong Chuyện Người Con Gái Nam Xương
Ta gồm DA + DB = AB
⇔ domain authority + 25/7 da = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo trang bị tự D và E. Tính DE.