Mệnh đề là một trong câu xác định đúng hoặc một câu khẳng định sai....Mệnh đề chứa biến là một trong câu xác định chứa trở nên nhận quý giá trong một tập X nào đó mà với mỗi quý giá của trở nên thuộc X ta được một mệnh đề.

Bạn đang xem: Mệnh đề toán học


*
ctvmagdalenarybarikova.com10 3 năm trước 26784 lượt coi | Toán học tập 10

Mệnh đề là một trong câu khẳng định đúng hoặc một câu xác minh sai....Mệnh đề đựng biến là một câu khẳng định chứa trở thành nhận giá trị trong một tập X nào này mà với mỗi quý giá của đổi thay thuộc X ta được một mệnh đề.


MỆNH ĐỀ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

 

I. LÝ THUYẾT

1. Mệnh đề

· Mệnh đề là 1 câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

· Một mệnh đề chẳng thể vừa đúng, vừa sai.

♦ Chú ý:

+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không hẳn là mệnh đề.

+ Mệnh đề hay được kí hiệu bằng các chữ dòng in hoa.

+ Một câu mà chưa thể nói đúng giỏi sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, cần yếu vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.

2. Mệnh đề che định

Cho mệnh đề P.

· Mệnh đề "Không đề nghị P" đgl mệnh đề lấp định của p và kí hiệu là $overlineP$.

· Nếu phường đúng thì $overlineP$ sai, nếu phường sai thì $overlineP$ đúng.

♦ Chú ý: Mệnh đề phủ định của phường có thể miêu tả theo vô số phương pháp khác nhau.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho nhì mệnh đề phường và Q.

· Mệnh đề "Nếu p thì Q" đgl mệnh đề kéo theo với kí hiệu là p. ⇒ Q.

· Mệnh đề p. ⇒ Q chỉ không nên khi phường đúng với Q sai.

P

Q

P ⇒ Q

Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Đúng

 

Chú ý: những định lí toán học thường sẽ có dạng phường ⇒ Q. Lúc đó:

– p. Là giả thiết, Q là kết luận;

– phường là điều khiếu nại đủ để sở hữu Q;

– Q là điều kiện cần để sở hữu P.

4. Mệnh đề đảo

mang lại mệnh đề kéo theo p ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề hòn đảo của mệnh đề phường ⇒ Q.

5. Mệnh đề tương đương

mang lại hai mệnh đề p. Và Q.

· Mệnh đề "P nếu và chỉ còn nếu Q" đgl mệnh đề tương đương với kí hiệu là p. ⇔ Q.

· Mệnh đề p ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả nhị mệnh để p ⇒ Q cùng Q ⇒ P những đúng.

Chú ý: nếu như mệnh đề p. ⇔ Q là một định lí thì ta nói p là điều kiện buộc phải và đủ để sở hữu Q.

6. Mệnh đề cất biến

Mệnh đề cất biến là 1 câu xác định chứa biến chuyển nhận quý giá trong một tập X nào này mà với mỗi quý giá của thay đổi thuộc X ta được một mệnh đề.

7. Kí hiệu " với $

· $"forall xin X,P(x)"$ · $"exists xin X,P(x)"$

· Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"forall xin X,P(x)"$ là "$exists xin X$, $overline extP(x)$".

· Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$exists xin X, P(x)$" là "$forall xin X, overline extP(x)$".

8. Phép chứng minh phản chứng

trả sử ta cần chứng tỏ định lí: A ⇒ B.

Cách 1: Ta đưa thiết A đúng. Sử dụng suy luận và các kiến thức toán học vẫn biết chứng minh B đúng.

Cách 2: (Chứng minh bội nghịch chứng) Ta trả thiết B sai, tự đó chứng minh A sai. Vì A cần yếu vừa đúng vừa không nên nên kết quả là B phải đúng.

9. Bổ sung

Cho nhì mệnh đề phường và Q.

· Mệnh đề "P với Q" đgl giao của nhì mệnh đề p và Q và kí hiệu là phường $wedge$ Q.

· Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề p. Và Q và kí hiệu là phường $vee$ Q.

· che định của giao, hợp hai mệnh đề: $overlinePwedge Q=overlinePvee overlineQ$, $overlinePvee Q=overlinePwedge overlineQ$.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Câu nào dưới đấy là mệnh đề đúng, câu như thế nào là mệnh đề sai?

a) Đây là đâu? b) PT $x^2+x-1=0$ vô nghiệm

c) x + 3 = 5 d) 16 ko là số nguyên tố

 

Lời giải :

Câu hỏi, chưa hẳn mệnh đề.Mệnh đề sai, vị phương trình này có 2 nghiệm khác nhau là $x=frac-1pm sqrt52$.Mệnh đề cất biến.

d. Mệnh đề đúng, vì chưng 16 có các ước tự nhiên và thoải mái 1, 2, 4, 8, 16; nhưng số nguyên tố là số trường đoản cú nhiên lớn hơn 1, phân tách hết cho một và chính nó.

Ví dụ 2. xác minh tính phải trái của mệnh đề A, B cùng tìm đậy định của nó

A: “$forall xin mathbbR,x^3>x^2$” B: “$exists xin mathbbN,xvdots (x+1)$”

Lời giải :

+ Xét mệnh đề A ta gồm : $x^3>x^2Leftrightarrow x^2left( x-1 ight)>0Leftrightarrow x-1>0Leftrightarrow x>1$.

Vậy mệnh đề A là sai. $overlineA:""exists xin mathbbR,x^3le x^2""$

+ Xét mệnh đề B :

Chọn $x=0Rightarrow 0vdots 1$ (đúng).

Vậy mệnh đề B là đúng. $overlineB:""forall xin mathbbN,x otvdots left( x+1 ight)""$

Giả sử $n otvdots 2Rightarrow n=2k+1,kin mathbbNRightarrow n^2=4k^2+4k+1 otvdots 2$ (mâu thuẫn với mang thiết)Vậy $nvdots 2$.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

§1. MỆNH ĐỀ

BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Trong các câu dưới đây, câu như thế nào là mệnh đề, câu làm sao là mệnh đề chứa biến:

a) Số 11 là số chẵn. B) các bạn có chuyên học ko ?

c) Huế là 1 trong thành phố của Việt Nam. D) 2x + 3 là một trong những nguyên dương.

e) $2-sqrt5

g) Hãy trả lời câu hỏi này!. H) Paris là hà nội nước Ý.

i) Phương trình $x^2-x+1=0$ bao gồm nghiệm. K) 13 là một vài nguyên tố

2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào là đúng ? lý giải ?

a) giả dụ a phân chia hết đến 9 thì a chia hết mang lại 3. B) giả dụ (age b) thì $a^2ge b^2$.

c) trường hợp a phân chia hết mang đến 3 thì a phân chia hết cho 6. D) Số $pi $ lớn hơn 2 và nhỏ tuổi hơn 4.

e) 2 cùng 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. F) 81 là một số trong những chính phương.

g) 5 > 3 hoặc 5

3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề làm sao là đúng ? lý giải ?

a) nhị tam giác đều bằng nhau khi còn chỉ khi bọn chúng có diện tích bằng nhau.

b) nhì tam giác bằng nhau khi và chỉ còn khi chúng đồng dạng và tất cả một cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác đầy đủ khi còn chỉ khi bọn chúng có hai tuyến đường trung tuyến đều nhau và có một góc bởi $60^0$.

d) Một tam giác là tam giác vuông khi còn chỉ khi nó tất cả một góc bằng tổng của nhị góc còn lại.

e) Đường tròn có một chổ chính giữa đối xứng với một trục đối xứng.

f) Hình chữ nhật gồm hai trục đối xứng.

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ còn khi nó bao gồm hai đường chéo vuông góc với nhau.

h) Một tứ giác nội tiếp được con đường tròn khi còn chỉ khi nó tất cả hai góc vuông.

4. Các mệnh đề sau đúng tốt sai. Nêu mệnh đề lấp định của chúng

a.“Phương trình x 2 – x – 4 = 0 vô nghiệm”

b.“6 là số nguyên tố” b.“$forall nin N:n^2-1$” là số lẻ

5. Nêu mệnh đề lấp định của những mệnh đề sau:

a) Số thoải mái và tự nhiên n chia hết mang đến 2 và mang lại 3.

b) Số tự nhiên n bao gồm chữ số tận cùng bởi 0 hoặc bởi 5.

c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa tuy vậy song vừa bằng nhau.

d) Số tự nhiên và thoải mái n tất cả ước số bởi 1 và bởi n.

6. Nêu mệnh đề tủ định của những mệnh đề sau:

a) $forall xin R:x^2>0$ . B) $exists xin R:x>x^2$.

c) $exists xin Q:4x^2-1=0$. D) $forall xin R:x^2-x+7>0$.

e) $forall xin R:x^2-x-2

g) $forall nin N,n^2+1$ không phân tách hết mang lại 3. H) $forall nin N,n^2+2n+5$ là số nguyên tố.

i) $forall nin N,n^2+n$ phân tách hết đến 2. K) $forall nin N,n^2-1$ là số lẻ.

7. Điền vào khu vực trống tự nối "" xuất xắc "hoặc" sẽ được mệnh đề đúng:

a) $pi 5$. B) $ab=0,,khi,,a=0,....,b=0$.

c) $ab e 0,,khi,,a e 0,....,b e 0$ d) $ab>0,,khi,,a>0,....,b>0,....,a

e) một trong những chia hết mang đến 6 khi và chỉ khi nó phân chia hết cho 2 …. Mang đến 3.

f) một trong những chia hết mang đến 5 khi và chỉ còn khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. Bằng 5.

8. Cho mệnh đề chứa biến chuyển P(x), cùng với x(in ) R. Kiếm tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

a) $P(x):""x^2-5 extx+4=0""$ b) $P(x):""x^2-5 extx+6=0""$ c) $P(x):""x^2-3x>0""$

d) $P(x):""sqrtxge x""$ e) $P(x):""2x+3le 7""$ f) $P(x):""x^2+x+1>0""$

9. Phát biểu mệnh đề P Þ Q, xét tính đúng sai với phát biểu mệnh đề đảo của nó

a.P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC với BD cắt nhau trên trung điểm mỗi đường”

b.P: “3 > 5” và Q: “7 > 10”

c.P: “ABC là tam giác vuông cân nặng tại A” với Q: “Góc B = 450”

10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng phương pháp sử dụng khái niệm "điều khiếu nại cần", "điều khiếu nại đủ":

a) Trong mặt phẳng, nếu hai tuyến phố thẳng minh bạch cùng vuông góc cùng với một mặt đường thẳng thứ cha thì hai tuyến đường thẳng ấy song song với nhau.

b) giả dụ hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

c) nếu như tứ giác T là một trong hình thoi thì nó bao gồm hai đường chéo vuông góc cùng với nhau.

d) nếu tứ giác H là 1 hình chữ nhật thì nó có bố góc vuông.

e) trường hợp tam giác K số đông thì nó gồm hai góc bởi nhau.

11. Phát biểu những mệnh đề sau, bằng cách sử dụng định nghĩa "điều kiện đề xuất và đủ":

a) Một tam giác là vuông khi và chỉ còn khi nó bao gồm một góc bằng tổng nhì góc còn lại.

b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có bố góc vuông.

c) Một tứ giác là nội tiếp được trong con đường tròn khi và chỉ còn khi nó có hai góc đối bù nhau.

d) một trong những chia hết đến 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và mang đến 3.

e) Số thoải mái và tự nhiên n là số lẻ khi còn chỉ khi $n^2$ là số lẻ.

​​​​​​​12. Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề tiếp sau đây và tuyên bố mệnh đề đảo của chúng

P: “Hình thoi ABCD bao gồm 2 đường chéo ACBD vuông góc nhau”

Q: “Tam giác cân có 1 góc bởi 600 là tam giác đều”

R: “13 phân tách hết mang lại 2 đề nghị 13 phân tách hết mang lại 10”

​​​​​​​13. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề hòn đảo đúng

A: “Một số tự nhiên và thoải mái tận thuộc là 6 thì số đó phân chia hết mang lại 2”

B: “Tam giác cân có một góc = 600 là tam giác đều”

C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”

D: “Hình thoi có 1 góc vuông do đó hình vuông”

BÀI TẬP NÂNG CAO

​​​​​​​1. Hãy tuyên bố và chứng tỏ các định lý sau đây

a. (forall nin mathbbN,n^2vdots 3Rightarrow nvdots 3)

b. (forall nin mathbbN,n^2vdots 6Rightarrow nvdots 6)

​​​​​​​2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau, nêu rõ nguyên nhân và lập mệnh đề bao phủ định cho những mệnh đề bên dưới đâY

a. $exists rin Q,4r^2-1=0$ b. $exists nin N,(n^2+1)vdots 8$​​​​​​​

c.(forall xin R,x^2+x+1>0) d.(forall nin mathbbN^*,(1+2+3+...+n)) không phân tách hết đến 11

​​​​​​​3. Cho P(n): “n là số chẵn” với Q(n): “7n + 4 là số chẵn”

a.Phát biểu và chứng minh định lý “(forall nin mathbbN,P(n)Rightarrow Q(n))”

b.Phát biểu và chứng tỏ định lý đảo của định lý trên

c.Phát biểu gộp 2 định lý trên bởi 2 cách.

4. CMR, là một vài vô tỉ.

5. ​​​​​​​P,Q là 2 mệnh đề. CMR : những mệnh đề sau là sai :

a, $Pwedge overlineP$ b, $(Pwedge Q)wedge overlineP$

6. Xác định tính đúng – không đúng của mệnh đề : $(PRightarrow Q)Rightarrow (arPvee Q)$

HD : Xét từng trường hợp qua bảng.

§2 SUY LUẬN TOÁN HỌC

1. Phát biểu định lý sau bên dưới dạng "điều kiện đủ"

a/ nếu hai tam giác cân nhau thì chúng đồng dạng.

b/ hai tuyến đường thẳng tách biệt cùng tuy nhiên song với đường thẳng thứ bố thì chúng tuy nhiên song cùng với nhau.

c/ giả dụ a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1

d/ Nếu một trong những tự nhiên bao gồm chữ số tận cùng là số 0 thì nó phân tách hết cho 5.

e/ giả dụ a + b

2. Phát biểu định lý sau bên dưới dạng "điều khiếu nại cần"

a/ Hình chữ nhật tất cả hai đường chéo bằng nhau.

b/ ví như hai tam giác cân nhau thì nó có những góc tương xứng bằng nhau.

c/ Nếu một trong những tự nhiên phân chia hết cho 6 thì nó phân tách hết đến 3.

d/ nếu như a = b thì a3 = b3.

e/ nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

3. Dùng phương pháp phản chứng, CMR :

a/ ví như n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

b/ trường hợp n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

c/ trường hợp x2 + y2 = 0 thì x = 0 với y = 0

d/ nếu x = 1 giỏi y = $frac12$ thì x + 2y - 2xy - 1 = 0

e/ trường hợp x.y phân tách hết mang lại 2 thì x xuất xắc y phân chia hết mang lại 2.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Toán Lớp 3 Cần Nhớ Và Chi Tiết Nhất, 6 Dạng Bài Tập Toán Lớp 3 Theo Từng Chủ Đề

f) trường hợp d1// d2 cùng d1// d3 thì d2 // d3.

4. Chứng minh vơi đa số số nguyên dương n, ta có:

a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)

c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = $fracn(n+1)2$

 a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = $fracn(n+1)(n+2)3$

b) $frac11.2+frac12.3+frac13.4+.........+frac1n.(n+1)=fracnn+1$

c) $frac11.3+frac13.5+frac15.7+.........+frac1(2n-1).(2n+1)=fracn2n+1$