Mặt Phẳng Vuông Góc

Nội dung bài học sẽ giúp đỡ các em nắm được khái niệm, cách khẳng định góc giữa hai mặt phẳng, mối liên hệ của diện tích nhiều giác cùng hình chiếu của nó, các điều khiếu nại để hai mặt phẳng vuông góc nhau. Hình như là các ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em hiện ra các tài năng giải bài xích tập tương quan đến xác định góc giữa hai phương diện phẳng, chứng minh hai phương diện phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Mặt phẳng vuông góc

1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Góc giữa hai phương diện phẳng

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp phần nhiều và hình chóp cụt đều

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai mặt phẳng vuông góc

3.2 bài bác tập SGK và nâng cấp vềHai mặt phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học tập 11

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai tuyến phố thẳng thứu tự vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu nhị mặt phẳng tuy vậy song hoặc trùng nhauthì ta bảo rằng góc giữa hai phương diện phẳng đó bởi 0o.

Cho nhị mặt phẳng (P) với (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kể thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi kia góc giữa hai khía cạnh phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a với b.

Với S là diện tích s đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),(varphi)là góc giữa (P) và (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).

1.2. Nhì mặt phẳng vuông góc

Hai phương diện phẳng được hotline là vuông góc với nhau nếu như góc thân chúng bởi 90o.

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc cùng với đáy.

Nhận xét: các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

Định nghĩa: Hình lăng trụ số đông là hình lăng trụ đứng có đáy là nhiều giác đều.

Nhận xét: những mặt mặt của hình lăng trụ hồ hết là hồ hết hình chữ nhật đều nhau và vuông góc với mặt đáy.

Định nghĩa: Hình vỏ hộp đứng là hình lăng trụ đứng gồm đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng tư mặt mặt đều là hình chữ nhật.

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 phương diện của hình vỏ hộp chữ nhật các là hình chữ nhật.

Định nghĩa: Hình lập phương là hình vỏ hộp chữ nhật có toàn bộ các cạnh bằng nhau.

1.4. Hình chóp phần đông và hình chóp cụt đều

Định nghĩa: Một hình chóp được hotline là hình chóp hồ hết nếu đáy của nó là nhiều giác hầu như và các kề bên bằng nhau.

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với mặt dưới kẻ trường đoản cú đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp rất nhiều đáy của nó là nhiều giác gần như và chân đường cao của hình chóp trùng với trọng điểm của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp gần như đáy của chính nó là nhiều giác số đông và các lân cận tạo voéi mặt dưới các góc bằng nhau.

Định nghĩa: Khi cắt hình chóp những bởi 1 mặt phẳng tuy nhiên song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

Nhận xét:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ gồm cạnh bằng a. Tính số đo của góc thân (BA’C) cùng (DA’C).

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bảo hành = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân nặng AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) với (AB’I).

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai khía cạnh phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo phương pháp hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng tỏ rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân nặng tại A và O là trung điểm của AC buộc phải SO là đường cao của tam giác).

Từ (1) cùng (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Cho hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Hotline M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC với BM. Chứng minh rằng:((SAC) ot (SMB).)

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: 8+ Công Thức Tích Phân Đầy Đủ, Chi Tiết Nhất, 8+ Công Thức Tích Phân Đầy Đủ

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ từ (1) với (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)