Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Bạn đang xem: Lý thuyết giới hạn dãy số

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\).

Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp:

\(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt<3>{n}}} = 0,..\)

Định lý 1: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lý 2: Nếu \(\left| q \right| 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt<3>{{{u_n}}} = \sqrt<3>{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)


+) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\).


3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = + \infty \).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Xem thêm: Bình Phương Của Một Hiệu Quả Nhất, Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = - \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = - \infty \).

Nhận xét:

i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\) \(\lim \sqrt<3>{n} = + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \)


Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

*





Bài 1: Các hàm số lượng giác
Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Bài 4: Ôn tập chương 1

Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản
Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm
Bài 3: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Giải phương trình
Bài 4: Nhị thức Niu - tơn
Bài 5: Biến cố và xác suất của biến cố
Bài 6: Các quy tắc tính xác suất
Bài 7: Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 8: Ôn tập chương 2

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Bài 2: Dãy số
Bài 3: Cấp số cộng
Bài 4: Cấp số nhân
Bài 5: Ôn tập chương 3

Bài 1: Giới hạn của dãy số
Bài 2: Một số phương pháp tính giới hạn dãy số
Bài 3: Giới hạn của hàm số
Bài 4: Các dạng vô định
Bài 5: Hàm số liên tục
Bài 6: Ôn tập chương Giới hạn

Bài 1: Khái niệm đạo hàm
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài 3: Vi phân và đạo hàm cấp cao
Bài 4: Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 1: Mở đầu về phép biến hình
Bài 2: Phép tịnh tiến
Bài 3: Phép đối xứng trục
Bài 4: Phép đối xứng tâm
Bài 5: Phép quay
Bài 6: Phép vị tự
Bài 7: Phép đồng dạng
Bài 8: Ôn tập chương phép biến hình

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2: Hai đường thẳng song song
Bài 3: Phương pháp giải các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Bài 4: Đường thẳng song song với mặt phẳng
Bài 5: Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp
Bài 6: Hai mặt phẳng song song
Bài 7: Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt
Bài 8: Phép chiếu song song
Bài 9: Ôn tập chương 7

Bài 1: Véc tơ trong không gian
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 4: Phương pháp giải các bài toán đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 6: Thiết diện và các bài toán liên quan
Bài 7: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 8: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài 9: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài 10: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài 11: Khoảng cách giữa đường thẳng, mặt phẳng song song
Bài 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

*

*

Học toán trực tuyến, tìm kiếm tài liệu toán và chia sẻ kiến thức toán học.