Ở những lớp trước các em đã làm cho quen với khái niệm khoảng cách từ điểm tới khía cạnh phẳng trong không gian. Ở chương trình toán 12 với không khí tọa độ, việc đo lường và tính toán khoảng cách được cho là khá dễ với rất nhiều em, tuy nhiên đừng vì thế mà các em khinh suất nhé.
Bạn đang xem: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn lại phương pháp tính khoảng cách từ điểm tới khía cạnh phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời qua đó giải những bài tập áp dụng để những em thuận lợi ghi nhớ cách làm hơn.
I. Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến lựa chọn mặt phẳng vào Oxyz
- Trong không gian Oxyz, nhằm tính khoảng cách từ điểm M(xM, yM, zM) đến phương diện phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không khí tọa độ Oxyz
* bài 1 (Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) thứu tự đến các mặt phẳng sau:
a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)
b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)
c) x = 0 ( γ;)
* Lời giải:
a) Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp (α) là:
b) Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp (β) là:
c) Ta có: khoảng cách từ điểm A cho tới mp (γ) là:
* bài bác 2: Cho nhì điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) gồm phương trình: x + 2y + 2z - 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).
* Lời giải:
- Ta có:
- Tương tự:
* bài bác 3: Tính khoảng cách giữa nhì mặt phẳng tuy nhiên song (P) và (Q) cho vì chưng phương trình sau đây :
(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.
(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.
* Lời giải:
- Ta đem điểm M(0;0;-1) thuộc phương diện phẳng (P), kí hiệu d<(P),(Q)> là khoảng cách giữa nhị mặt phẳng (P) và (Q), ta có:
⇒ d<(P),(Q)> = 3.
* bài 4: Tìm bên trên trục Oz điểm M bí quyết đều điểm A(2;3;4) cùng mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0.
* Lời giải:
- Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :
- Điểm M bí quyết đều điểm A cùng mặt phẳng (P) là:
⇒ Vậy điểm M(0;0;3) là vấn đề cần tìm.
* bài 5: Cho nhì mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt tất cả phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 cùng (P2): Ax + By + Cz + D" = 0 cùng với D ≠ D".
a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) với (P2).
b) Viết phương trình phương diện phẳng tuy vậy song và giải pháp đều nhì mặt phẳng (P1) với (P2).
* Áp dụng mang đến trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0 với (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.
* Lời giải:
a) Ta thấy rằng (P1) với (P2) song song cùng với nhau, đem điểm M(x0; y0; z0) ∈ (P1), ta có:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ (Ax0 + By0 + Cz0) = -D (1)
- lúc đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) là khoảng cách từ M tới (P2):
b) khía cạnh phẳng (P) tuy nhiên song với nhì mặt phẳng đang cho sẽ sở hữu dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)
- Để (P) bí quyết đều nhì mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) ∈ (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) ∈ (P2) đến (P) đề nghị ta có:
mà (Ax1 + By1 + Cz1) = -D ; (Ax2 + By2 + Cz2) = -D" bắt buộc ta có:
(3)
vì E≠D, nên:
⇒ cố gắng E vào (2) ta được phương trình mp(P): Ax + By + Cz + ½(D+D") = 0
* Áp dụng đến trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.
a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2):
- mp(P2) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0
b) Ta có thể sử dụng một trong 3 phương pháp sau:
- biện pháp 1: áp dụng hiệu quả tổng quát nghỉ ngơi trên ta bao gồm ngay phương trình mp(P) là:
- phương pháp 2: (Sử dụng cách thức qũy tích): gọi (P) là khía cạnh phẳng buộc phải tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:
- giải pháp 3: (Sử dụng tính chất): phương diện phẳng (P) song song với nhị mặt phẳng sẽ cho sẽ có dạng:
(P): x + 2y + 2z + D = 0.
Xem thêm: Hướng Dẫn 3 Cách Làm Hộp Đựng Bút Bằng Chai Nhựa Đơn Giản, Cách Làm Hộp Bút Bằng Chai Nhựa
+ Lấy những điểm
+ Mặt phẳng (P) bí quyết đều (P1) và (P2) thì (P) phải trải qua M bắt buộc ta có:
* bài xích 6: Trong không khí Oxyz, mang lại điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x - 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) gồm tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (α).
* Lời giải:
- Phương trình mặt cầu tâm I(xi; yi; zi) bán kính R bao gồm dạng:
(x - xi)2 + (y - yi)2 + (z - zi)2 = R2
- bắt buộc theo bài xích ra I(1;4;-6) pt mặt mong (S) gồm dạng:
(x - 1)2 + (y - 4)2 + (z + 6)2 = R2
- vị mặt ước (S) tiếp xúc với khía cạnh phẳng (α) nên khoảng cách từ chổ chính giữa I của mặt mong tới phương diện phằng phải bởi R, phải có: