của hàm giới hạn và tích phân nhờ vào tham số. Sau đây ta tập trung vào việc quan gần kề tính khả tích cùng khả vi, quan trọng đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.

Bạn đang xem: Khả tích là gì

Ta bắt đầu với dãy hàm

Không giận dữ toán

Một giải pháp tổng quát, Weierstrass sẽ chỉ ra:

Với bất kỳ hàm tiếp tục

*
\to\mathbb R" class="latex" /> đều sở hữu dãy các đa thức
*
quy tụ đều mang đến
*
bên trên
*
." class="latex" />

Các bạn tìm hiểu thêm thêm

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem

Khi

*
S. N. Bernstein và chỉ còn ra ví dụ dãy các đa thức Bernstein

*

với

*
là 1-1 thức Bernstein.

Chi tiết các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial

Cũng trường hòa hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ luân hồi

*
được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ
*
lúc đó L. Fejer chỉ ra dãy các đa thức

*

với thông số Fourier

*

Vậy đk gì bảo đảm an toàn hàm số lượng giới hạn khả vi?

Một trong số điều kiện cần:

– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong

*
,

– bản thân hàng hàm vẫn cho chỉ việc hội tụ trên một điểm

*

Do tính khả vi có đặc thù địa phương buộc phải ta rất có thể tinh chỉnh một chút: cố định

*

– phiên bản thân hàng hàm hội tụ tại

*
,

– gồm

*
0" class="latex" /> đủ nhỏ để
*
và dãy đạo hàm hội tụ đều mang đến hàm
*
trong
*

Khi kia

*
quy tụ đến
*
trong
*
. Không chỉ có thế
*
khả vi trên
*
và

*
trong
*

Ta vẫn sử dụng công dụng về tính khả tích của hàng hàm khả tích quy tụ đều để minh chứng kết trái trên. Muốn vậy ta bắt buộc tăng trả thiết, cụ thể

*
liên tục trên
*
khi đó dãy nguyên hàm

*

hội tụ bên trên

*
mang đến
*
Lại có

*

và dãy

*
hội tụ, ký hiệu số lượng giới hạn này
*
lúc đó dãy
*
quy tụ trong
*
mang lại
*
Từ trên đây ta có điều đề xuất chứng minh.

Giả thiết về tính tiếp tục là yên cầu khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của những thầy è cổ Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không bắt buộc đến đưa thiết này. Có tương đối nhiều ví dụ về hàm khả vi, gồm đạo hàm ko khả tích Riemann. Lấy ví dụ

*
là hàm khả vi vào
*
gồm đạo hàm

*

là hàm không xẩy ra chặn vào

*
đề nghị không khả tích vào đó.

Ví dụ về hàm khả vi, tất cả đạo hàm bị chặn và ko khả tích Riemann, được Volterra lần thứ nhất đưa ra. Lấy ví dụ như này được tạo khá phức tạp. Các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Ví dụ dễ dàng và đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Lấy ví dụ này có khá nhiều nét như là ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Chúng ta tham khảo

Click khổng lồ access Goffman77.pdf

Câu hỏi khác liên quan đến sự việc này: hàm khả vi, ta rất có thể khôi phục lại hàm tự đạo hàm của nó nhờ tích phân?

Trường hợp

*
\to\mathbb R" class="latex" /> có đạo hàm
*
là hàm khả tích Riemann trên
*
thì nó bao gồm tập những điểm ngăn cách có độ đo không. Lúc đó

*

khả vi hầu khắp nơi và

*
hầu mọi nơi. Rộng nữa

*
bên trên
*
." class="latex" />

Một cách tổng quát, ví như một hàm

*
liên tục tuyệt vời địa phương thì

– nó khả vi hầu mọi nơi, tất cả đạo hàm

*
khả tích Lebesgue địa phương trong
*
,

– và

*

Các chúng ta thử dùng công dụng này để lấy ra các hiệu quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.

Ta chuyển sang tích phân nhờ vào tham số cận hữu hạn

*

với

*
\times\to\mathbb R" class="latex" />

+ khả tích trên

*
" class="latex" /> theo
*
với từng
*
vậy định,

+ có đạo hàm riêng theo

*
với từng
*
cố định.

Câu hỏi:

+

*
tất cả khả vi trong
*
không?

+ Nếu bao gồm thì liệu

*
có đúng không?

VD3: Xét hàm

*
\times<-1, 1>\to\mathbb R" class="latex" /> khẳng định bởi

*
và

*
là hàm thường xuyên trên
*
\times." class="latex" />

Khi kia

*
khả vi vào
*
và

*

Để chứng tỏ ta cần sử dụng tính khả tích của

*
, nạm thể

*
.

Ngoài ra, để ý tính liên tục của

*
cùng
*

ta có

*
là nguyên hàm của
*

và

*
.

Xem thêm: Soạn Văn 9 Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64), Soạn Bài Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64)

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ việc đạo hàm riêng rẽ

*
bị chặn là đủ. Chúng ta tham khảo

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral

Trong Giáo trình Giải tích tập 2 giới thiệu việc áp dụng tính khả vi của tích phân dựa vào tham số để chứng minh tính khả tích. Ở kia ta cần tính liên tiếp của

*
bên trên
*
\times." class="latex" /> sau thời điểm học tích phân bội ta sẽ thấy điều kiện tiếp tục mạnh so với tính khả tích. Thực thụ ta chỉ việc tính khả tích để chứng minh tính khả tích. Công dụng mạnh về điều này các bạn tham khảo