của hàm giới hạn và tích phân nhờ vào tham số. Sau đây ta tập trung vào việc quan gần kề tính khả tích cùng khả vi, quan trọng đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.
Bạn đang xem: Khả tích là gì
Ta bắt đầu với dãy hàm
Không giận dữ toán
Một giải pháp tổng quát, Weierstrass sẽ chỉ ra:
Với bất kỳ hàm tiếp tục




Các bạn tìm hiểu thêm thêm
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Khi


với

Chi tiết các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
Cũng trường hòa hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ luân hồi



với thông số Fourier

Vậy đk gì bảo đảm an toàn hàm số lượng giới hạn khả vi?
Một trong số điều kiện cần:
– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong

– bản thân hàng hàm vẫn cho chỉ việc hội tụ trên một điểm

Do tính khả vi có đặc thù địa phương buộc phải ta rất có thể tinh chỉnh một chút: cố định

– phiên bản thân hàng hàm hội tụ tại

– gồm




Khi kia







Ta vẫn sử dụng công dụng về tính khả tích của hàng hàm khả tích quy tụ đều để minh chứng kết trái trên. Muốn vậy ta bắt buộc tăng trả thiết, cụ thể



hội tụ bên trên



và dãy





Giả thiết về tính tiếp tục là yên cầu khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của những thầy è cổ Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không bắt buộc đến đưa thiết này. Có tương đối nhiều ví dụ về hàm khả vi, gồm đạo hàm ko khả tích Riemann. Lấy ví dụ



là hàm không xẩy ra chặn vào

Ví dụ về hàm khả vi, tất cả đạo hàm bị chặn và ko khả tích Riemann, được Volterra lần thứ nhất đưa ra. Lấy ví dụ như này được tạo khá phức tạp. Các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Ví dụ dễ dàng và đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Lấy ví dụ này có khá nhiều nét như là ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Chúng ta tham khảo
Click khổng lồ access Goffman77.pdf
Câu hỏi khác liên quan đến sự việc này: hàm khả vi, ta rất có thể khôi phục lại hàm tự đạo hàm của nó nhờ tích phân?
Trường hợp




khả vi hầu khắp nơi và



Một cách tổng quát, ví như một hàm

– nó khả vi hầu mọi nơi, tất cả đạo hàm


– và

Các chúng ta thử dùng công dụng này để lấy ra các hiệu quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.
Ta chuyển sang tích phân nhờ vào tham số cận hữu hạn

với

+ khả tích trên



+ có đạo hàm riêng theo


Câu hỏi:
+


+ Nếu bao gồm thì liệu

VD3: Xét hàm




Khi kia



Để chứng tỏ ta cần sử dụng tính khả tích của


Ngoài ra, để ý tính liên tục của


ta có


và

Xem thêm: Soạn Văn 9 Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64), Soạn Bài Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64)
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ việc đạo hàm riêng rẽ

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 giới thiệu việc áp dụng tính khả vi của tích phân dựa vào tham số để chứng minh tính khả tích. Ở kia ta cần tính liên tiếp của

