của hàm giới hạn và tích phân phụ thuộc tham số. Dưới đây ta tập trung vào việc quan sát tính khả tích và khả vi, đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.
Bạn đang xem: Khả tích là gì
Ta bắt đầu với dãy hàm
Không khó tính toán
Một cách tổng quát, Weierstrass đã chỉ ra:
Với bất kỳ hàm liên tục




Các bạn tham khảo thêm
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Khi


với

Chi tiết các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
Cũng trường hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ



với hệ số Fourier

Vậy điều kiện gì đảm bảo hàm giới hạn khả vi?
Một trong các điều kiện cần:
– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong

– bản thân dãy hàm đã cho chỉ cần hội tụ tại một điểm

Do tính khả vi có tính chất địa phương nên ta có thể tinh chỉnh một chút: cố định

– bản thân dãy hàm hội tụ tại

– có




Khi đó







Ta sẽ sử dụng kết quả về tính khả tích của dãy hàm khả tích hội tụ đều để chứng minh kết quả trên. Muốn vậy ta cần tăng giả thiết, cụ thể



hội tụ trên



và dãy





Giả thiết về tính liên tục là đòi hỏi khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần đến giả thiết này. Có khá nhiều ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm không khả tích Riemann. Ví dụ



là hàm không bị chặn trong

Ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn và không khả tích Riemann, được Volterra lần đầu tiên đưa ra. Ví dụ này được xây dựng khá phức tạp. Các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Ví dụ đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Ví dụ này có nhiều nét giống ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các bạn tham khảo
Click to access Goffman77.pdf
Câu hỏi khác liên quan đến vấn đề này: hàm khả vi, ta có thể khôi phục lại hàm từ đạo hàm của nó nhờ tích phân?
Trường hợp




khả vi hầu khắp nơi và



Một cách tổng quát, nếu một hàm

– nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm


– và

Các bạn thử dùng kết quả này để đưa ra các kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.
Ta chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số cận hữu hạn

với

+ khả tích trên



+ có đạo hàm riêng theo


Câu hỏi:
+


+ Nếu có thì liệu

VD3: Xét hàm




Khi đó



Để chứng minh ta dùng tính khả tích của


Ngoài ra, chú ý tính liên tục của


ta có


và

Xem thêm: Soạn Văn 9 Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64), Soạn Bài Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64)
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ cần đạo hàm riêng

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đưa ra việc sử dụng tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số để chứng minh tính khả tích. Ở đó ta cần tính liên tục của

