của hàm giới hạn và tích phân phụ thuộc tham số. Dưới đây ta tập trung vào việc quan sát tính khả tích và khả vi, đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.

Bạn đang xem: Khả tích là gì

Ta bắt đầu với dãy hàm

Không khó tính toán

Một cách tổng quát, Weierstrass đã chỉ ra:

Với bất kỳ hàm liên tục

*
\to\mathbb R" class="latex" /> đều có dãy các đa thức
*
hội tụ đều đến
*
trên
*
." class="latex" />

Các bạn tham khảo thêm

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem

Khi

*
S. N. Bernstein còn chỉ ra cụ thể dãy các đa thức Bernstein

*

với

*
là đơn thức Bernstein.

Chi tiết các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial

Cũng trường hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ

*
được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ
*
Khi đó L. Fejer chỉ ra dãy các đa thức

*

với hệ số Fourier

*

Vậy điều kiện gì đảm bảo hàm giới hạn khả vi?

Một trong các điều kiện cần:

– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong

*
,

– bản thân dãy hàm đã cho chỉ cần hội tụ tại một điểm

*

Do tính khả vi có tính chất địa phương nên ta có thể tinh chỉnh một chút: cố định

*

– bản thân dãy hàm hội tụ tại

*
,

– có

*
0" class="latex" /> đủ nhỏ để
*
và dãy đạo hàm hội tụ đều đến hàm
*
trong
*

Khi đó

*
hội tụ đến
*
trong
*
. Hơn nữa
*
khả vi trên
*

*
trong
*

Ta sẽ sử dụng kết quả về tính khả tích của dãy hàm khả tích hội tụ đều để chứng minh kết quả trên. Muốn vậy ta cần tăng giả thiết, cụ thể

*
liên tục trên
*
Khi đó dãy nguyên hàm

*

hội tụ trên

*
đến
*
Lại có

*

và dãy

*
hội tụ, ký hiệu giới hạn này
*
Khi đó dãy
*
hội tụ trong
*
đến
*
Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Giả thiết về tính liên tục là đòi hỏi khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần đến giả thiết này. Có khá nhiều ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm không khả tích Riemann. Ví dụ

*
là hàm khả vi trong
*
có đạo hàm

*

là hàm không bị chặn trong

*
nên không khả tích trong đó.

Ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn và không khả tích Riemann, được Volterra lần đầu tiên đưa ra. Ví dụ này được xây dựng khá phức tạp. Các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Ví dụ đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Ví dụ này có nhiều nét giống ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các bạn tham khảo

Click to access Goffman77.pdf

Câu hỏi khác liên quan đến vấn đề này: hàm khả vi, ta có thể khôi phục lại hàm từ đạo hàm của nó nhờ tích phân?

Trường hợp

*
\to\mathbb R" class="latex" /> có đạo hàm
*
là hàm khả tích Riemann trên
*
thì nó có tập các điểm gián đoạn có độ đo không. Khi đó

*

khả vi hầu khắp nơi và

*
hầu khắp nơi. Hơn nữa

*
trên
*
." class="latex" />

Một cách tổng quát, nếu một hàm

*
liên tục tuyệt đối địa phương thì

– nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm

*
khả tích Lebesgue địa phương trong
*
,

– và

*

Các bạn thử dùng kết quả này để đưa ra các kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.

Ta chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số cận hữu hạn

*

với

*
\times\to\mathbb R" class="latex" />

+ khả tích trên

*
" class="latex" /> theo
*
với mỗi
*
cố định,

+ có đạo hàm riêng theo

*
với mỗi
*
cố định.

Câu hỏi:

+

*
có khả vi trong
*
không?

+ Nếu có thì liệu

*
có đúng không?

VD3: Xét hàm

*
\times<-1, 1>\to\mathbb R" class="latex" /> xác định bởi

*

*
là hàm liên tục trên
*
\times." class="latex" />

Khi đó

*
khả vi trong
*

*

Để chứng minh ta dùng tính khả tích của

*
, cụ thể

*
.

Ngoài ra, chú ý tính liên tục của

*
*

ta có

*
là nguyên hàm của
*

*
.

Xem thêm: Soạn Văn 9 Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64), Soạn Bài Hoàng Lê Nhất Thống Chí (Trang 64)

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ cần đạo hàm riêng

*
bị chặn là đủ. Các bạn tham khảo

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral

Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đưa ra việc sử dụng tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số để chứng minh tính khả tích. Ở đó ta cần tính liên tục của

*
trên
*
\times." class="latex" /> Sau khi học tích phân bội ta sẽ thấy điều kiện liên tục mạnh so với tính khả tích. Thực sự ta chỉ cần tính khả tích để chứng minh tính khả tích. Kết quả mạnh về điều này các bạn tham khảo