Đường hypebol cũng là một đường quen thuộc đối với chúng ta, chẳng hạn
- Đồ thị của hàm số
- Quan sát vùng sáng hắt lên bức tường từ một đèn bàn ; vùng sáng này có hai mảng, mỗi mảng được giới hạn bởi một phần của một đường hypebol (h. 86b).
Bạn đang xem: Hình hypebol
1. Định nghĩa đường hypebol
ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định F1, F2có khoảng cách F1F2= 2c (c > 0).Đường hypebol(còn gọi làhypebol) là tập hợp các điểm M sao cho
Hai điểm F1và F2gọi là cáctiêu điêmcủa hypebo. Khoảng cách F1F2= 2c gọi làtiêu cựcủa hypebol.
Có thể vẽ hypebol như sau (h. 88) : Lấy một thước thẳng có mépABvà một sợi dây không đàn hồi có chiều dàilnhỏ hơn chiều dàiABcủa thước vàl>AB–F1F2. Đóng hai chiếc đinh lên mặt một bảng gỗ tạiF1, F2. Đính một đầu dây vào điểmAvà đầu dây kia vàoF2. Đặt thước sao cho sợi dây luôn bị căng rồi cho thước quay quanhF1, mép thước luôn áp sát mặt gỗ. Khi đó, đầu bút chìCsẽ vạch nên một đường cong. Ta sẽ chứng tỏ đường cong đó là một phần của đường hypebol. Thật vậy, ta có
CF1–CF2= (CF1+CA) – (CF2+CA) –AB – lkhông đổi.
2. Phương trình chính tắc của hypebol
Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục tọa độOxycó gốc là trung điểm của đoạn thẳngF1F2, trụcOylà đường trung trực củaF1F2vàF2nằm trên tiaOx.
Khi đóF1= (–c ; 0),F2= (c ; 0) (h. 89).
1.Giả sử điểmM(x;y) nằm trên hypebol (H). Hãy tính biểu thức
Các đoạn thẳngMF1,MF2được gọi làbán kính qua tiêucủa điểmM.
Bây giờ ta sẽ lập phương trình của hypebol (H) đối với hệ tọa độ đã chọn.
Ta có
Rút gọn đẳng thức trên ta được
Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : nếu điểmMcó tọa độ (x;y) thỏa mãn (1) thì
Phương trình (1) được gọi làphương trình chính tắccủa hypebol.
3. Hình dạng của hypebol
a) Gốc tọa độOlà tâm đối xứng của hypebol.Ox,Oylà hai trục đối xứng của hypebol.
b) Hypebol cắt trụcOxtại hai điểm và không cắt trụcOy.
Ngoài ra, đối với hypebol có phương trình chính tắc (1), ta còn có các khái niệm sau đây.
TrụcOx(chứa hai tiêu điểm) gọi làtrục thực, trụcOygọi làtrục ảocủa hypebol. Hai giao điểm của hypebol với trụcOxgọi làhai đỉnhcủa hypebol. Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực. Khoảng cách 2agiữa hai đỉnh gọi làđộ dài trục thực, 2bgọi làđộ dài trục ảo.
- Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là mộtnhánhcủa hypebol.
- Ta cũng gọi, giống như với elip, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực làtâm saicủa hypebol, kí hiêu làe, tức là
Ví dụ.Cho hypebol(H) :
Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo của (H).
Giải.Hypebol (H) cóa2= 9,b2= 4 nêna= 3,b= 2,c2=a2+b2= 13,
- Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳngx= ±a, y = ±bgọi làhình chữ nhật cơ sởcủa hypebol có phương trình (1) (h. 90). Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là haiđường tiệm cậncủa hypebol. Phương trình hai đường tiệm cận đó là
3.Cho hypebol (H) :
Nhận xét gì về khoảng cách đó khhix0tăng dần?
Như vậy, khi điểmMtrên hypebol càng xa gốc tọa độ thì khoảng cách từ điểm đó đến một trong hai đường tiệm cận càng nhỏ đi, điều đó cũng có nghĩa là điểmMngày càng gần sát đường tiệm cận đó (điều này giải thích ý nghĩa của từ “tiệm cận”).
Xem thêm: Nhân Trùng Giày Có Gì Khác Với Nhân Trùng Biến Hình (Về Số Lượng Và Hình Dạng
Hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và(O’;R’) có điểm chungMthì hiển nhiên |MO – MO’|=|r– R’|, nên khi giữO, O’cố định và choR, R’thay đổi sao cho |R – R’| = 2akhông đổi (a> 0) thì các giao điểmMcùng nằm trên một hypebol với tiêu điểm làOvàO’.