ĐƯỜNG HYPERBOL

Đường hypebol cũng là một đường quen thuộc so với chúng ta, chẳng hạn

- Đồ thị của hàm số

*
là một con đường hypebol (h. 86a);

- Quan giáp vùng sáng sủa hắt lên bức tường xuất phát từ một đèn bàn ; vùng sáng này còn có hai mảng, mỗi mảng được giới hạn bởi một phần của một đường hypebol (h. 86b).

Bạn đang xem: Hình hypebol


*

1. Định nghĩa đường hypebol

ĐỊNH NGHĨA

Cho nhị điểm cố định F1, F2có khoảng cách F1F2= 2c (c > 0).Đường hypebol(còn call làhypebol) là tập hợp những điểm M sao cho

*
, trong các số đó a là số dương mang lại trước bé dại hơn c(h. 87).

Hai điểm F1và F2gọi là cáctiêu điêmcủa hypebo. Khoảng cách F1F2= 2c gọi làtiêu cựcủa hypebol.

*

Có thể vẽ hypebol như sau (h. 88) : mang một thước thẳng gồm mépABvà một gai dây không bầy hồi tất cả chiều dàilnhỏ rộng chiều dàiABcủa thước vàl>AB–F1F2. Đóng hai mẫu đinh lên phương diện một bảng mộc tạiF1, F2. Đính một đầu dây vào điểmAvà đầu dây tê vàoF2. Đặt thước sao để cho sợi dây luôn bị căng rồi đến thước tảo quanhF1, mép thước luôn áp sát mặt gỗ. Lúc đó, đầu cây viết chìCsẽ vạch đề nghị một mặt đường cong. Ta sẽ minh chứng đường cong kia là một phần của mặt đường hypebol. Thật vậy, ta có

CF1–CF2= (CF1+CA) – (CF2+CA) –AB – lkhông đổi.

*

2. Phương trình thiết yếu tắc của hypebol

Cho hypebol (H) như trong có mang trên. Ta lựa chọn hệ trục tọa độOxycó cội là trung điểm của đoạn thẳngF1F2, trụcOylà đường trung trực củaF1F2vàF2nằm trên tiaOx.

Khi đóF1= (–c ; 0),F2= (c ; 0) (h. 89).

*

1.Giả sử điểmM(x;y) nằm tại hypebol (H). Hãy tính biểu thức

*
và thực hiện giả thiết
*
để suy ra

*

Các đoạn thẳngMF1,MF2được call làbán kính qua tiêucủa điểmM.

Bây giờ ta đang lập phương trình của hypebol (H) đối với hệ tọa độ vẫn chọn.

Ta có

*

Rút gọn đẳng thức bên trên ta được

*
Chú ý rằnga2–c2 0), với ta được

*

Ngược lại, có thể minh chứng được rằng : nếu điểmMcó tọa độ (x;y) thỏa mãn (1) thì

*
và vày đó
*
,tức làMthuộc hypebol (H).

Phương trình (1) được call làphương trình thiết yếu tắccủa hypebol.

3. Mẫu mã của hypebol

*
2.Từ phương trình chính tắc (1) của hypebol, hãy lý giải vì sao nócó các đặc điểm sau

a) gốc tọa độOlà trọng tâm đối xứng của hypebol.Ox,Oylà nhì trục đối xứng của hypebol.

b) Hypebol giảm trụcOxtại hai điểm và không giảm trụcOy.

Ngoài ra, đối với hypebol bao gồm phương trình chủ yếu tắc (1), ta còn tồn tại các quan niệm sau đây.

TrụcOx(chứa nhì tiêu điểm) điện thoại tư vấn làtrục thực, trụcOygọi làtrục ảocủa hypebol. Hai giao điểm của hypebol với trụcOxgọi làhai đỉnhcủa hypebol. Người ta cũng call đoạn thẳng nối nhị đỉnh của hypebol là trục thực. Khoảng cách 2agiữa hai đỉnh hotline làđộ dài trục thực, 2bgọi làđộ dài trục ảo.

- Hypebol có hai phần nằm phía hai bên trục ảo, mỗi phần điện thoại tư vấn là mộtnhánhcủa hypebol.

- Ta cũng gọi, hệt như với elip, tỉ số giữa tiêu cự và độ nhiều năm trục thực làtâm saicủa hypebol, kí hiêu làe, tức là

*
. để ý rằng ta luôn cóe> 1.

Ví dụ.Cho hypebol(H) :

*

Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính trọng tâm sai, độ nhiều năm trục thực, độ nhiều năm trục ảo của (H).

Giải.Hypebol (H) cóa2= 9,b2= 4 nêna= 3,b= 2,c2=a2+b2= 13,

*
. Vậy Hypebol (H) có những tiêu điểm (–
*
các đỉnhA1(–3 ; 0),A2(3 ; 0) ; trọng tâm sai
*
; độ lâu năm trục thực 2a= 6; độ dài trục ảo 2b= 4.

- Hình chữ nhật tạo ra bởi các đường thẳngx= ±a, y = ±bgọi làhình chữ nhật cơ sởcủa hypebol bao gồm phương trình (1) (h. 90). Hai đường thẳng chứa hai đường chéo cánh của hình chữ nhật đại lý gọi là haiđường tiệm cậncủa hypebol. Phương trình hai đường tiệm cận đó là

*

*

3.Cho hypebol (H) :

*
. Lấy điểmM(x0;y0) trên (H) vớix0> 0,y0> 0. Chứng minh rằng khoảng cách từMđến con đường tiệm cận
*
bằng
*
.

Nhận xét gì về khoảng cách đó khhix0tăng dần?

Như vậy, khi điểmMtrên hypebol càng xa cội tọa độ thì khoảng cách từ điểm này đến 1 trong những hai con đường tiệm cận càng bé dại đi, điều đó cũng có nghĩa là điểmMngày càng gần sát đường tiệm cận kia (điều này giải thích chân thành và ý nghĩa của từ “tiệm cận”).

Xem thêm: Nhân Trùng Giày Có Gì Khác Với Nhân Trùng Biến Hình (Về Số Lượng Và Hình Dạng

Hai đường tròn ko đồng trọng tâm (O;R) và(O’;R’) tất cả điểm chungMthì phân biệt |MO – MO’|=|r– R’|, nên những lúc giữO, O’cố định và choR, R’thay đổi làm thế nào để cho |R – R’| = 2akhông đổi (a> 0) thì các giao điểmMcùng nằm tại một hypebol cùng với tiêu điểm làOvàO’.