Cho biết $fracx_1x_2=fracx_2t_1=fract_1t_2$ . Tính a với b

Câu 3:

mang lại phương trình

Giải cùng biện luận phương trình (1) theo mKhi phương trình (1) có hai nghiệm riêng biệt tìm một hệ thức liên hệ giữa hòa bình đối với mTìm m sao cho $left| x_1-x_2 right|ge 2$

Câu 4:

Cho phương trình (p là số lẻ) có hai nghiệm rành mạch x1 với x2. Minh chứng rằng nếu n là số thoải mái và tự nhiên thì $x_1^n+x_2^n$ và$x_1^n+1+x_2^n+1$ phần lớn là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau.

Bạn đang xem: Hệ thức vi ét nâng cao

Câu 5:

Cho x,y>0 thỏa mãn nhu cầu hệ thức$sqrtx(sqrtx+sqrty)=3sqrtyleft( sqrtx+5sqrty right)(1)$

Hãy tính cực hiếm biểu thức $E=frac2x+sqrtxy+3yx+sqrtxy-y$

Câu 6:

a, ko giải phương trình này hãy tính hiệu các lập phương của những nghiệm bự và nghiệm bé dại của phương trình :$x^2-fracsqrt854x+1frac516=0$

b. Với giá trị làm sao của số nguyên a những nghiệm của phương trình

là những số hữu tỷ.

Câu 7:

cho phương trình . Xác minh a với b nhằm phương trình có hai nghiệm biệt lập x1 cùng x2 thỏa mãn nhu cầu x1 – x2 =5 cùng $x_1^3-x_2^3=35$ .Tính các nghiệm đó

Câu 8:

mang đến phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4=0$

Xác định m để phương trình bao gồm hai nghiệm biệt lập x1 cùng x2 thỏa mãn $frac1x_1+frac1x_2=1$ Lập một hệ thức độc lập giữa x1 và x2 tự do với m.

Câu 9:

Cho phương trình $left( m+2 right)x^2-2left( m-1 right)x+3-m=0$

Xác định m nhằm phương trình gồm hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức:

$x_1^2+x_2^2=x_1+x_2$

Lập một hệ thức giữa x1 cùng x2 không phụ thuộc vào vào mViết một phương trình bậc hai có những nghiệm là:

$X_1=fracx_1-1x_1+1;X_2=fracx_2-1x_2+1$

Câu 10:

giả sửa với b là nhì số khác nhau. Chứng tỏ rằng trường hợp phương trình:

$x^2$ <+ax+2b=0~~> (1)

$x^2+bx+2a=0$ (2)

Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn sót lại của (1) cùng (2) là nghiệm của phương trình $x^2+2x+ab=0$

Câu 11:

cho phương trình

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình gồm hai nghiệm nhưng nghiệm này gấp rất nhiều lần nghiệm tê là <9ac=2b^2>

Câu 12:

Cho phương trình :

*
có 2 nghiệm khác nhau
*

không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 bao gồm ẩn là y nhất trí :
*
cùng
*

Câu 13:

Cho phương trình :

*
bao gồm 2 nghiệm
*
. Lập hệ thức liên hệ giữa
*
làm sao để cho chúng không dựa vào vào m.

Câu 14:

Cho phương trình :

*

Gọi

*
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

*

Câu 15:

Xét phương trình: $x^4-2(m^2+2)+5m^2+3=0$ (1) m là tham số.

Chứng minh rằng phương trình luôn có 4 nghiệm phân biệt với tất cả m.Gọi những nghiệm là $x_1,x_2,x_3,x_4$ . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức:

M=$frac1x_1^2+frac1x_2^2+frac1x_3^2+frac1x_4^2$.

Câu 16:

Cho phương trình x$^2$- ax + a – 1 = 0 có hai nghiệm $x_1,x_2$

a) ko giải phương trình hãy tính cực hiếm biểu thức $M=frac3x_1^2+3x_2^2-3x_1^2x_2+x_2^2x_1$

b) tìm kiếm a để tổng bình phương nhì nghiệm đạt GTNN ?

Câu 17:

a) tìm m để phương trình $2x^2+2mx+m^2-2=0$ gồm hai nghiệm phân biệt

b) điện thoại tư vấn x1; x2 là hai nghiệm của nó, kiếm tìm GTLN của biểu thức:

$A=left| 2x_1x_2+x_1+x_2-4 right|$.

Câu 18:

Cho nhiều thức có các nghiệm là ; . Hãy tính tổng sau:

.

Câu 19:

Cho tam thức bậc nhì f(x) = ax2 +bx+c ( a không giống 0) tất cả hai nghiệm x1;x2 nằm trong <0;1>. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức :

.

Câu 20:

Cho phương trình ax2+bx+c=0(1) với a>0 tất cả hai nghiệm x1;x2 trực thuộc . Chứng tỏ rằng :

(2+<(4a-b)(2+sqrtfracca)ge 2(4a-2b+c)> (1)

Câu 21:

Gỉa sử phương trình ax3 +(b-a)x2+(c-a)x-c=0(1), với có 3 nghiệm là độ lâu năm 3 cạnh của một tam giác. Chứng tỏ rằng :

0>(2).

Câu 22:

Xét phương trình bậc nhị :

.

Giả sử x1 ; x2 là những nghiệm của nó.

Tính ,.

Câu 23:

Tìm nhiều thức bậc 5 có thông số nguyên dấn số thực frac25+sqrt<5>frac52> làm cho nghiệm.

Câu 24:

Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của số <(5+3sqrt3)^2013>

Câu 25:

search m để phương trình :

(1)

Có những nghiệm vừa lòng : <-2Phương trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn nhu cầu x>1.Phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn 4>.Phương trình bao gồm nghiệm nằm trong Phương trình có ít nhất một nghiệm vừa lòng Câu 27:

Tìm m nhằm phương trình :

(1)

bao gồm nghiệm .

Câu 28:

mang đến Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0. Tra cứu GTLN cña $x_1^2left( 1-x_2^2 right)+x_2^2left( 1-4x_1^2 right)$

Câu 29:

Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình

2008×2 – (2008m – 2009)x – 2008 = 0

minh chứng

A= $frac32left( x_1-x_2 right)^2+2left( fracx_1-x_22+frac1x_1-frac1x_2 right)^2ge 24$

Câu 30:

Cho cha số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:

a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng tỏ rằng:

*

Lời giải bỏ ra tiết

Câu 1:

Ta có: $x^2-2left( m-1 right)x-3-m=0$

Có

*

Với đều giá trị của m

Suy ra phương trình luôn luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta gồm
*

Câu 2:

Áp dụng định lí viet ta có:

X1+x2=3 và x1x2=a

T1+t2=12 với t1t2

Đặt k= $fracx_1x_2=fracx_2t_1=fract_1t_2$⇒ x1=kx2 x2=kt1; t1=kt2

thế vào cùng rút ra k2 =$frac14$

Nếu k=$frac12$ thì a=2 với b=32Nếu k=$-frac12$ thì a=-18 và b=-288

Câu 3:

nếu m=1 $Rightarrow $ phương trình bao gồm nghiệm x=$frac14$ trường hợp m≠1 xét ∆’ =(m+1)2 -m(m-1)=3m+1

Với m $frac-13$ và m≠1 phương trình tất cả hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

x1+x2=2(m+1)m-1×1.x2=mm-1

*
$Rightarrow x_1+x_2-4x_1x_2+2=0$

Ta có: $$ $left| x_1-x_2 right|ge 2$ ⇔ $left( x_1-x_2 right)^2ge 4$

$Leftrightarrow left( x_1+x_2 right)^2-4x_1x_2ge 4Leftrightarrow frac4left( m+1 right)^2left( m-1 right)^2-frac4mm-1ge 4$

Giải bất phương trình ta tìm kiếm được giá trị của m

Câu 5:

Trong đk (1) chia cả nhì vế cho x>0 ta có:

⇔ 1+t=3t(1+5t) với t=$sqrtfracyx>0$

⇔15t2+2t-1=0 ⇔ t1=$frac15$ hoặc t2=-$frac13$ ( loại)

Khi t=$frac15$ ta phân chia cả tử và mẫu mã của E cho x>0 ta được

E=$frac2+t+3t^21+t-t^2=2$

Câu 6:

Gọi x1 và x2 (x2

Ta có: x1+x2=$fracsqrt854$ cùng x1x2=1$frac516$

*

Vì x1>x2 $Rightarrow x_1-x_2=sqrtleft( x_1-x_2 right)^2=sqrtleft( x_1+x_2 right)^2-4x_1x_2$

Từ đó ta tính được $x_1^3-x_2^3=1$

Xét a=0 cùng a$ne $ 0 . A=n(n+1) cùng với n là số nguyên.

Câu 7:

Điều khiếu nại cần: mang sử phương trình gồm hai nghiệm x1; x2 vừa lòng điều kiện

Theo định lý Viet ta tất cả x1+x2= -a cùng x1x2=b

Từ x1 – x2=5 ⇒

*

Từ $x_1^3-x_2^3=35$

*

Vậy trường đoản cú (1) với (2) ta gồm hệ

*

Điều kiện đủ: Thay những giá trị của a với b kiếm được để giải phương trình và tìm nghiệm x1; x2

Câu 8:

M phải thỏa mãn đồng thời

*
⇒ không có m thỏa mãn

Khi m≥3 phương trình bao gồm hai nghiệm riêng biệt x1 và x2; theo định lí viet ta có:

x1+x2=2(m-1)x1.x2=m2-3m+4

*

$Rightarrow m-1=fracx_1+x_22$

$x_1x_2=left( m-1 right)^2-(m-1)+2$

$Rightarrow x_1x_2=left( fracx_1+x_22 right)^2-left( fracx_1+x_22 right)+2$

Đó là hệ thức thân x1 cùng x2 độc lập với m.

Câu 9:

M phải thỏa mãn đồng thời:

*

Tìm được m=$frac3+sqrt132$ .

Khi ∆’ ≥0 ⇔ m≤-1 hoặc m≥$frac52$ (m≠-2)

Ta có: x1+x2=$frac2left( m-1 right)m+2$, x1x2=$frac3-mm+2$

⇒ x1 +x2=2-$frac6m+2$ , x1x2=-1+ $frac5m+2$

⇒ 5(x1+x2) =4-6x1x2

Hệ thức này không phụ thuộc vào vào m

Ta có: X1+X2= $fracx_1-1x_1+1+fracx_2-1x_2+1=frac(x_1-1)(x_2+1)+(x_2-1)(x_1+1)(x_1+1)(x_2+1)$

X1X2=$(fracx_1-1x_1+1.fracx_2-1x_2+1)$

Khai triển ra, rút gọn gàng và áp dụng định lí Viet ta có:

X1+X2=$frac2left( 1-2m right)3+2m$ cùng $X_1.X_2=frac7-2m3+2m$

Vậy X1 với X2 là nhị nghiệm của phương trình:

$left( 3+2m right)X^2-2(1-2m)X+7-2m=0$

Câu 10:

Giả sử (1) tất cả hai nghiệm minh bạch x1 ≠ x0 ⇒ $x_0^2$ +ax0 +2b=0

tất cả hai nghiệm rành mạch x2 ≠ x0 ⇒ $x_0^2$ +bx0 +2a=0

⇒ (a-b)x0 +2b-2a=0 ⇔ (a-b)x0 = 2(a-b)

Vì a≠b ⇒ x0=2 núm vào (1) ta có: 4+2a+2b=0 ⇒ a=-b-2

Thay a vào (1) ta có: x2 – (b+2)x +2b=0 ⇒ (x-2)(x-b)=0

⇒ x0=2 và x1=b

Thayb=-a-2 vào (2), làm giống như ta có: x2=a

⇒ x1+x2=a+b với x1x2=ab

⇒ theo định lí hòn đảo viet ta có x1 và x2là nhì nghiệm của phương trình

X2-(a+b)x+ab=0 (vì a+b=-2 )⇒ x2 +2x+ab=0

Câu 11:

Điều khiếu nại cần: giả sử phương trình có hai nghiệm x1 cùng x2 thỏa mãn nhu cầu hoặc x1=2×2 hoặc 2×1=x2

⇒ $left( x_1-2x_2 right)left( x_2-2x_1 right)=0Rightarrow x_1x_2-2left( x_1^2+x_2^2 right)+4x_1x_2=0$

*

Điều kiện đủ: trả sử gồm 9ac= 2b2

Xét ∆=b2-4ac= b2 -$frac8b^29=fracb^29Rightarrow x_1=frac4b6a$ cùng $x_2=-frac2b6a$

$Rightarrow x_1=2x_2$

Câu 12:

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

Vậy phương trình đề xuất lập có dạng:

hay

Câu 13:

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

*

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

*

Rút m từ bỏ (1) ta tất cả :

(3)

Rút m trường đoản cú (2) ta gồm :

(4)

Đồng nhất những vế của (3) cùng (4) ta có:

Câu 14:

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :

*

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

bởi vì

Vậy m = 1

Với bí quyết thêm sút khác ta lại có:

vày

Vậy

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 cùng với ẩn là m và B là tham số, ta vẫn tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với tất cả m.

(Với m là ẩn, B là tham số) (**)

Ta có:

Để phương trình (**) luôn luôn có nghiệm với tất cả m thì D ³ 0

hay <-2B^2+B+1ge 0Leftrightarrow 2B^2-B-1le 0Leftrightarrow left( 2B+1 right)left( B-1 right)le 0>


*

Vậy: m = 1

Câu 15:

1) Đặt x$^2$ = y ( y$ge $ 0 ) Pt (1) trở thành:

$y^2-2(m^2+2)y+5m^2+3=0$ (2)

*

Do 0,forall m> đề xuất phương trình (2) luôn luôn có hai nghiệm phân biêt.

Theo định lý Vi-et ta có:

$S=y_1+y_2=frac-ba=frac2(m^2+2)1=2(m^2+2)$>0,

$P=y_1.y_2=fracca=5m^2+3$>0,

$Rightarrow y_1,y_2$cùng dương.

Vậy (2) luôn luôn có nhì nghiệm dương phân biệt đề nghị (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt.

2) Theo kết quả trên ta gồm $x_1,x_2,x_3,x_4ne 0$

Vậy $x_1=sqrty_1,x_2=-sqrty_1$ , $x_3=sqrty_2,x_4=-sqrty_2$

$M=frac1(sqrty_1)^2+frac1(-sqrty_1)^2+frac1(sqrty_2)^2+frac1(-sqrty_2)^2$ = =

Thay công dụng S và phường vào M ta có:

$M=frac2.2(m^2+2)5m^2+3=frac4(m^2+2)5m^2+3$

Kết luận: $M=frac4(m^2+2)5m^2+3$

Câu 16:

a) Ta có: $M=frac3(x_1^2+x_2^2-1)x_1x_2(x_1+x_2)=frac3left< (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-1 right>x_1x_2(x_1+x_2)$

Theo định lý Vi-et ta gồm :

$S=x_1+x_2=a;P=x_1.x_2=a-1$

Vậy $M=frac3left< a^2-2(a-1)-1 right>a(a-1)=frac3left< (a+1)(a-1)-2(a-1) right>a(a-1)$

$=frac3(a-1)^2a(a-1)=frac3(a-1)^2a(a-1)=frac3(a-1)a$ (ĐK : $ane 0,ane 1$)

b) Ta bao gồm $S=x_1+x_2=a$ (1)

$P=x_1.x_2=a-1$ (2)

Đặt A= x12 +x22 =(x1 +x2 )2 -2x1x2 = a2 -2a+2= (a-1)2 +1 1

và A=1 khi a=1.

Vậy giá chỉ trị bé dại nhất của A là một trong khi a=1.

Câu 17:

a) Ta có: $Delta ^,=m^2-2(m^2-2)=-m^2+4$.

Phương trình gồm hai nghiệm khi và chỉ còn khi:

0>

*

b) Theo định lý Vi-et ta tất cả :

$x_1+x_2=-m;x_1x_2=fracm^2-22$

Vậy $A=left| 2x_1x_2+x_1+x_2-4 right|=left| (m+2)(m-3) right|$=<-left( textm+text2 right)left( textm-text3 right)>,vì m (-2;2)

Do đó $A=(m+2)(3-m)=-m^2+m+6=-(m-frac12)^2+frac254le frac254$

Vậy GTLN của A là $frac254$khi còn chỉ khi .

Câu 18:

Ta viết lại :

<(x^2+2x-3)^2=8>

*

Gọi các nghiệm của (1) là ; các nghiệm của (2) là .

Ta có :

==

<=frac2x_1^2+1(x_1^-1)^2(4-sqrt8)+frac2x_2^2+1(x_2^-1)^2(4-sqrt8)>

<=frac1(4-sqrt8)left< frac(2x_1^2+1)(x_2-1)^2+(2x_2^2+1)(x_1-1)^2left< (x_1-1)(x_2-1) right>^2 right>><=frac1(4-sqrt8)left< frac(2x_1^2+1)(x_2^2-2x_2+1)+(2x_2^2+1)(x_1^2-2x_1+1)left< (x_1x_2-x_1-x_2+1) right>^2 right>>

<=frac1(4-sqrt8)left< frac4x_1^2x_2^2-4x_1x_2(x_1+x_2)+3(x_1^2+x_2^2)-2(x_1+x_2)+2left< (x_1x_2-x_1-x_2+1) right>^2 right>>.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: ; .

Thay vào biểu thức trên ta có: .

Thực hiện nay việc đo lường tương tự so với phương trình (2) ta có :

.

Câu 19:

Theo định lý Vi-et ta có: . Chuyển đổi biểu thức A ta được:

*

3.

lại có với b=-2a=-2c thì A=3. đề xuất giá trị lớn nhất của A là 3.

Câu 20:

Vì x1;x2 là hai nghiệm của (1) phải theo hệ thức Vi-et ta có:

.

biến đổi bất đẳng thức (1) bằng cách chia nhì vế đến a ta được:

<(4-fracba)(2+sqrtfracca)ge 2(4-2fracba+fracca)> .

.

Đặt ta nhận được bất đẳng thức thân thuộc :

.

( có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Câu 21:

Dễ thấy (1) gồm nghiệm x=1, hạ bậc ta được: (x-1)(ax2+bx+c)=0.

Gọi x1; x2 là những nghiệm của phương trình : ax2+bx+c=0.

Theo định lý Vi-et ta có:

.

Biến thay đổi (2) như sau

0>0>

(2+x1+x2)(x1+x2)>(1+x1+x2+x1x2)

x1+x2-1+x12+x22 +x1x2>0.

Bất đẳng thức cuối đúng vị một là độ dài tía cạnh của tam giác.

Câu 22:

Đặt ,.

Lúc đó ta bao gồm hệ thức truy nã hồi tuyến đường tính sau :

aSn+2 +bSn+1 +cSn =0(1).

Chứng minh :

ta tất cả :Sn+2= x1n+2 +x2n+2 = (x1n+1 + x2n+1)(x1+x2)- x1x2(x1n + x2n)

= Sn+1()-Sn. aSn+2 +bSn+1 +cSn = 0( đpcm).

Câu 23:

Ta để frac25>; frac52>.

Vậy thì : frac25+sqrt<5>frac52=varepsilon >; .

Nên theo định lý Vi-et ta gồm ; là nghiệm của phương trình:

(1).

Theo hệ thức tróc nã hồi ta có: (*)

Với ; . Từ kia ta tính được :

; ;

; .

Nhưng ngoài ra ta lại có:

.

Từ đó ta dành được :

.

Điều đó minh chứng là nghiệm phương trình:

10×5 -50×3 +50x -29 =0 .

Đây chính là phương trình phải tìm.

Câu 24:

Ta để ; . Lúc ấy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình:

x2 -10x -2 = 0

Đặt . Theo hệ thức truy vấn hồi ta có:

.

Ta gồm S1 =10 bắt buộc từ hệ thức trên ta suy ra Sn luôn luôn chia hết mang lại 10 khi n là số lẻ.

Để ý rằng -12 có 3 trường đúng theo xảy ra:

TH1: Tìm m để phương trình không có nghiệm thỏa mãn nhu cầu 4>.

TH1: f(x) vô nghiệm

*

TH2: f(x) gồm cả nhị nghiệm thuộc khoảng <-4;4>

*

Như vậy f(x) không tồn tại nghiệm thỏa mãn nhu cầu 4> khi <-frac259le m4> khi

*

Có 4 trường thích hợp xảy ra:

*

TH4: f(x) bao gồm cả hai nghiệm thuộc khoảng tầm (-1;1).

*

Tóm lại :

*

Có 3 ngôi trường hợp:

*

Kết hợp các trường thích hợp ta được .

Câu 27:

Đặt , thì .

Phương trình trở thành: (2).

Để (1) tất cả nghiệm thì (2) yêu cầu có tối thiểu một nghiệm .

TH1: (2) gồm nghiệm t=0 .

Xem thêm: Phim Trò Chơi Mực Ống - Trò Chơi Con Mực Full 9/9

TH2: (2) có hai nghiệm trái lốt

*

TH3: (2) có cả hai nghiệm dương

*

Kết hợp lại ta được : <-1le mle frac2sqrt33>.

Câu 28:

Phương trình đã cho rằng phương trình bậc hai bao gồm a = 1 ; b = 2m – 1 ; c = m – 1

*

Vì $Delta >0$nên phương trình tất cả hai nghiệm phân biệt với tất cả m.

Theo định lý Viét tất cả

*

Ta tất cả $A=x_1^2left( 1-x_2^2 right)+x_2^2left( 1-4x_1^2 right)=x_1^2+x_2^2-5x_1^2x_2^2=left( x_1+x_2 right)^2-2x_1x_2-5left( x_1^x_2^ right)^2$ (3)

Thay (1) với (2) vào (3) ta có:

*

do $left( m-2 right)^2ge 0,,forall ,,m,Rightarrow ,A,=,-left( m-2 right)^2,+2le text2 forall ,,m,$

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 tốt m = 2. Vậy GTLN của $A=x_1^2left( 1-x_2^2 right)+x_2^2left( 1-4x_1^2 right)$ là 2 lúc m = 2

Câu 29:

Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = $frac2008m-20092008$ và x1x2 = -1

nên A = 6(x1 – x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4) $ge $ 24

Câu 30:

từ a + b + c = abc Þ b + c = a(bc – 1) = a( a2 – 1) cơ mà bc = a2 đề nghị b, c là nghiệm của phương trình: X2 – (a3 – a)X + a2 = 0