Trong công tác lớp 9, phương trình số 1 2 ẩn có 2 phương thức để giải, kia là phương thức cộng đại số và phương pháp thế, có sự khác biệt nào về ưu nhược điểm của 2 cách thức này.

Bạn đang xem: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn


Trong bài viết này, chúng ta thuộc tìm hiểu 2 giải pháp giải trên đối với phương trình hàng đầu 2 ẩn. Giải những bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cùng với từng phương pháp cộng đại số và phương thức thế, đồng thời khám phá các dạng toán về phương trình số 1 2 ẩn, từ đó nhằm thấy điểm mạnh của mỗi cách thức và vận dụng linh hoạt trong những bài toán vậy thể.

I. Cầm tắt định hướng về phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c cùng với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình hàng đầu hai ẩn ax + by = c luôn luôn luôn gồm vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được trình diễn bởi mặt đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì mặt đường thẳng (d) là vật dụng thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình biến chuyển ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình thay đổi by = c tuyệt y = c/b và đường thẳng (d) tuy nhiên song hoặc trùng cùng với trục hoành

2. Hệ nhị phương trình số 1 hai ẩn

+ Hệ phương trình số 1 2 ẩn: 

*
 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ nhị phương trình bậc nhất hai ẩn

- call (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) giảm (d’) thì hệ tất cả nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ gồm vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhị phương trình tương tự với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II. Bí quyết giải hệ phương trình số 1 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng cách thức cộng đại số

a) Quy tắc cộng đại số

- Quy tắc cùng đại số sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm nhị bước:

- cách 1: cùng hay trừ từng vế nhì phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

- bước 2: dùng phương trình new ấy thay thế sửa chữa cho 1 trong những hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số.

- bước 1: Nhân những vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ đều nhau hoặc đối nhau.

- bước 2: sử dụng quy tắc cộng đại số và để được hệ phương trình mới, trong số đó có một phương trình mà hệ số của một trong các hai ẩn bởi 0 (tức là phương trình một ẩn).

- cách 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải những hệ PT số 1 2 khuất phía sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc nạm dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Phép tắc thế bao hàm hai cách sau:

- cách 1: từ một phương trình của hệ đã mang đến (coi là phương trình thức nhất), ta màn biểu diễn một ẩn theo ẩn cơ rồi cố vào phương trình thức hai sẽ được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: dùng phương trình bắt đầu ấy để sửa chữa thay thế cho phương trình thức nhì trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế sửa chữa bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia đã có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương thức thế

- cách 1: sử dụng quy tắc vắt để chuyển đổi phương trình đã đến để được một hệ phương trình mới, trong những số đó có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một số trong những dạng toán phương trình hàng đầu 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Phương pháp: xem phần bắt tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ phương trình sau bằng phương thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài bác 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tốt nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm tuyệt nhất (25/19;-21/19)

* nhận xét: Qua bài 12 này, các em thấy phương thức thế vẫn sử dụng dễ dãi hơn khi 1 trong các phương trình của hệ có những hệ số của x hoặc y là 1 trong những hoặc -1. Lúc đó chỉ cần rút x hoặc y ngơi nghỉ phương trình gồm hệ số là một trong những hoặc -1 này và cầm cố vào phương trình sót lại để giải hệ.

- Đối với các hệ PT trình mà không tồn tại hệ số như thế nào của x với y là 1 trong những hoặc -1 thì việc sử dụng phương pháp thế làm phát sinh những phân số và vấn đề cộng trừ dễ làm ta không đúng sót hơn hẳn như là bài 13 dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương thức thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm tuyệt nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng cách thức cộng đại số

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài đôi mươi trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ PT sau bằng PP cộng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải thuật bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: đem PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tốt nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) với 2 để thông số của x ở cả 2 PT bởi nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tuyệt nhất (5;3)

* nhấn xét: khi không có bất kỳ hệ số làm sao của x, y là 1 trong hay -1 thì cách thức cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương thức đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- cách 1: Đặt đk để hệ có nghĩa

- cách 2: Đặt ẩn phụ và đk của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo những ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp rứa hoặc pp cùng đại số)

- cách 4: quay lại ẩn lúc đầu để kiếm tìm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta gồm hệ ban đầu trở thành:

 

*

- quay lại ẩn thuở đầu x cùng y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, cần hệ tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số không giống 0)

 Đặt: 

*
 ta bao gồm hệ ban sơ trở thành:

*

 Trở lại ẩn ban sơ x và y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, đề nghị hệ có nghiệm tuyệt nhất (-5/4;6)

Dạng 4: khẳng định tọa độ giao điểm của 2 mặt đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ được tạo bởi vì 2 phương trình con đường thẳng đã cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 mặt đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 cùng d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 với d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng một trong các 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 cùng d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Ở Cà Chua Gen A Quy Định Quả Đỏ A Quy Định Quả Vàng B Quy Định Quả Tròn B Quy Định Quả Bầu Dục

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương thức thế) rồi rứa vào phương trình còn sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện công việc biện luận như sau:

- trường hợp a ≠ 0, thì x = b/a; thế vào biểu thức nhằm tìm y; hệ có nghiệm duy nhất.

- nếu a = 0, ta có, 0.x = b:

_ trường hợp b = 0 thì hệ có vô vàn nghiệm

_ giả dụ b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- từ PT(1) ta có: y = mx - 2m, thay vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* nếu m ≠ ±1, ta có: 

*

khi đó: 

*

⇒ Hệ tất cả nghiệm duy nhất: 

* nếu như m = -1, thay vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ bao gồm vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)