1. Hàm số (Function)

1.1. Khái niệm

Gọi $X$ và $Y$ là các tập số thực. Một hàm giá trị thực $f$ của một biến số thực $x$ từ $X$ sang $Y$ là một quy luật tương ứng sao cho với mỗi số $x$ trong $X$ xác định được duy nhất một số $y$ trong $Y$.

Bạn đang xem: Hàm số ngược


*

Tập xác định (Domain) của $f$ là tập $X$. Số $y$ là ảnh của $x$ hoặc giá trị của $f$ tại $x$ và được viết $y=f(x)$. Miền giá trị (Range) của $f$ là một tập hợp con của $Y$ và chứa tất cả các ảnh của các con số trong $X$.Ví dụ: Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} $ là tập các giá trị $x$ sao cho $x - 1 \geq 0$, tức là khoảng $\left< {1; + \infty } \right)$. Để tìm miền giá trị, ta quan sát thấy $\sqrt {x - 1} $ luôn không âm. Do đó, miền giá trị là khoảng $\left< {0; + \infty } \right)$.

1.2. Phân loại

Các hàm số sơ cấp được chia thành 3 loại:Hàm đại số (hàm đa thức, hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ).Hàm lượng giác (hàm sin, hàm cos, hàm tan, hàm cot,…).Hàm lũy thừa và hàm logarithm.

1.3. Hàm số hợp

Gọi $f$ và $g$ là các hàm số. Hàm số $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ là hàm hợp của hàm $f$ với $g$. Miền xác định của $f \circ g$ là tập hợp tất cả $x$ trong tập xác định của $g$ sao cho $g(x)$ nằm trong tập xác định của $f$.
*

Ví dụ: Cho $f\left( x \right) = 2x - 3$ và $g\left( x \right) = \cos x$, hãy xác định:a. $f \circ g$b. $g \circ f$Giải:a. $f \circ g\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\cos x} \right) = 2\left( {\cos x} \right) - 3 = 2\cos x - 3$b. $g \circ f\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {2x - 3} \right) = \cos \left( {2x - 3} \right)$Ta thấy $f \circ g\left( x \right) \neq g \circ f\left( x \right)$

1.4. Tính chẵn và lẻ của hàm số

Trong thuật ngữ về hàm số, hàm số là chẵn khi đồ thị của nó đối xứng qua trục $Oy$ và hàm số là lẻ khi đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ $O$.- Hàm $y = f\left( x \right)$ là chẵn khi $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$.- Hàm $y = f\left( x \right)$ là lẻ khi $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.Ví dụ:a. Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - x$ là hàm số lẻ vì:$$f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \left( { - x} \right) = - {x^3} + x = - \left( {{x^3} - x} \right) = - f\left( x \right)$$b. Hàm số $g\left( x \right) = 1 + \cos x$ là hàm số chẵn vì:$$f\left( { - x} \right) = 1 + \cos \left( { - x} \right) = 1 + \cos \left( x \right) = f\left( x \right)$$c. Hàm số $h\left( x \right) = {x^2} + x + 1$ không chẵn không lẻ vì $f\left( { - x} \right) \ne f\left( x \right)$ và $f\left( { - x} \right) \neq - f\left( x \right)$.

2. Hàm ngược (Inverse function)

2.1. Khái niệm

Một hàm số $g$ là hàm ngược của hàm số $f$ khi:$f\left( {g\left( x \right)} \right) = x$ với mỗi $x$ trong tập xác định $g$.$g\left( {f\left( x \right)} \right) = x$ với mỗi $x$ trong tập xác định $f$.Hàm $g$ được viết là ${f^{ - 1}}$ (đọc là hàm ngược $f$).
*

Ví dụ: $f\left( x \right) = 2{x^3} - 1$ và $g\left( x \right) = \sqrt<3>{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}$ là những hàm ngược của nhau vì:Tập xác định và miền giá trị của chúng là tập số thực.Hàm hợp của $f$ với $g$ là: $f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\sqrt<3>{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}} \right) = 2{\left( {\sqrt<3>{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}} \right)^3} - 1 = x$Hàm hợp của $g$ với $f$ là: $g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {2{x^3} - 1} \right) = \sqrt<3>{{\dfrac{{2{x^3} - 1 + 1}}{2}}} = x$

2.2. Tính chất

Nếu $g$ là hàm ngược của $f$ thì $f$ là hàm ngược của $g$.Tập xác định của ${f^{ - 1}}$ bằng miền giá trị của $f$ và miền giá trị của ${f^{ - 1}}$ bằng tập xác định của ${f}$.Một hàm không nhất thiết phải có hàm ngược nhưng khi nó có thì hàm ngược của nó là duy nhất.Tính chất phản xạ: Đồ thị của $f$ chứa điểm $(a,b)$ khi và chỉ khi đồ thị của ${f^{ - 1}}$ chứa điểm $\left( {b,a} \right)$. Đồ thị của $f$ và ${f^{ - 1}}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.Sự tồn tại của hàm ngược:Một hàm số có một hàm ngược khi và chỉ khi nó là đơn ánh.Nếu $f$ đơn điệu nghiêm ngặt trên toàn miền xác định thì nó là đơn ánh và có hàm ngược.

2.3. Cách xác định hàm ngược

Chứng minh sự tồn tại của hàm ngược.Giải $x$ như là hàm của $y$: $x = g\left( y \right) = {f^{ - 1}}\left( y \right)$Hoán đổi $x$ và $y$ thu được phương trình: $y = {f^{ - 1}}\left( x \right)$ \item Xác định tập xác định của ${f^{ - 1}}$ là miền giá trị của $f$.Chứng tỏ rằng: $f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x$ và ${f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x$. Ví dụ: Tìm hàm ngược của $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 3} $.Giải:+ Tập xác định: $D = \left< {\dfrac{3}{2};+ \infty } \right)$.Dễ thấy $f"\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x - 3} }} > 0$ với $\forall x \in D$ $\Rightarrow$ $f$ luôn tăng trên $D$. Do đó, $f$ đơn điệu nghiêm ngặt và nó có hàm ngược.+ Gọi $y = f\left( x \right)$ giải $x$ theo $y$, ta được: $y = \sqrt {2x - 3} \Rightarrow x = \dfrac{{3 + {y^2}}}{2}$+ Hoán đổi $x$ và $y$: $y = \dfrac{{3 + {x^2}}}{2}$+ Như vậy, ta có: ${f^{ - 1}}\left( x \right) = \dfrac{{3 + {x^2}}}{2}$+ Dễ thấy, miền xác định của ${f^{ - 1}}$ là miền giá trị của $f$, đó là $\left< {0; + \infty } \right)$.+ Kiểm tra, ta có:$f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = f\left( {\dfrac{{3 + {x^2}}}{2}} \right) = \sqrt {2\left( {\dfrac{{3 + {x^2}}}{2}} \right) - 3} = \sqrt {{x^2}} = x$ với $x \in \left< {0; + \infty } \right)$.${f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = {f^{ - 1}}\left( {\sqrt {2x - 3} } \right) = \dfrac{{3 + {{\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)}^2}}}{2} = x$ với $x \in \left< {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$

3. Hàm lượng giác ngược (Inverse trigonometric functions)

3.1. Khái niệm

Nhận xét: “Không có hàm lượng giác nào có hàm ngược vì hàm lượng giác là những hàm tuần hoàn nên nó không đơn ánh”.Xét hàm $f\left( x \right) = \sin x$ trên đoạn $\left< { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right>$:Hàm số tăng và đơn ánh trên $\left< { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right>$.Trên đoạn này, ta xác định hàm ngược “bị hạn chế”: $y = \arcsin x$ khi và chỉ khi $\sin y = x$, trong đó $ - 1 \leq x \leq 1$ và $ - \dfrac{\pi }{2} \leq \arcsin x \leq \dfrac{\pi }{2}$.
*

\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Hàm & Tập xác định & Miền giá trị & Đồ thị \\ \hline $y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x$ & $ - 1 \leq x \leq 1$ & $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2} $ & \includegraphics{hinh15} \\ \hline $y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x$ & $ - 1 \leq x \leq 1$ & $ 0 \leq y \leq \pi $ & \includegraphics{hinh16} \\ \hline $y = \arctan x \Leftrightarrow \tan y = x$ & $ - \infty \leq x \leq + \infty $ & $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ & \includegraphics{hinh17} \\ \hline $y = \operatorname{arccot} x \Leftrightarrow \cot y = x$ & $ - \infty \leq x \leq + \infty $ & $0 \leq y \leq \pi $ & \includegraphics{hinh18} \\ \hline\end{tabular}\end{center}Ví dụ: $\arcsin \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{6}$, $\arccos 0 = \dfrac{\pi }{2}$, $\arctan \sqrt 3 = \dfrac{\pi }{3}$.

Xem thêm: Để Viết Được Các Số Tự Nhiên Từ 100 Đến 199 Phải Dùng Bao Nhiêu Chữ Số 9

Chú ý: Ngoài 4 hàm lượng giác cơ bản trên, ta còn 2 hàm lượng giác cơ bản nữa là: $\sec x = \dfrac{1}{{\cos x}}$ và $\csc x = \dfrac{1}{{\sin x}}$ tương ứng với 2 hàm lượng giác ngược: ${\text{arc}}\sec x$ (tập xác định $\left| x \right| \geq 1$, miền giá trị $0 \leq y \leq \pi ,y \ne \dfrac{\pi }{2}$) và ${\text{arc}}\csc x$ (tập xác định $\left| x \right| \geq 1$, miền giá trị $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2},y \neq 0$).

3.2. Tính chất

Nếu $ - 1 \leq x \leq 1$ và $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ thì $\sin \left( {\arcsin x} \right) = x$ và $\arcsin \left( {\sin y} \right) = y$.Nếu $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ thì $\tan \left( {\arctan x} \right) = x$ và $\arctan \left( {\tan y} \right) = y$.Nếu $\left| x \right| \geq 1$ và $0 \leq y $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi }{2}$$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi }{2}$$\arctan x = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)$\item $\arcsin x = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ với $\left| x \right| \leq 1$$\arctan x + \arctan y = \arctan \left( {\dfrac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$ với $xy

4. Hàm hyperbol (Hyperbolic functions)

4.1. Khái niệm

$\sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$$\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{{\sinh x}}$\item $\cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$$\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{{\cosh x}}$$\tanh x = \dfrac{{\sinh x}}{{\cosh x}}$$\coth x = \dfrac{1}{{\tanh x}}$

4.2. Tính chất

${\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1$${\tanh ^2}x + {\operatorname{sech} ^2}x = 1$${\coth ^2}x - {\operatorname{csch} ^2}x = 1$${\sinh ^2}x = \dfrac{{ - 1 + \cosh 2x}}{2}$${\cosh ^2}x = \dfrac{{1 + \cosh 2x}}{2}$$\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$$\cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x$$\sinh \left( {x + y} \right) = \sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y$$\sinh \left( {x - y} \right) = \sinh x\cosh y - \cosh x\sinh y$$\cosh \left( {x + y} \right) = \cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y$$\cosh \left( {x - y} \right) = \cosh x\cosh y - \sinh x\sinh y$

4.3. Hàm hyperbol ngược

\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}\hline Hàm hyperbol ngược & Tập xác định \\ \hline ${\sinh ^{ - 1}}x = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$ & $\left( { - \infty , + \infty } \right)$ \\ \hline ${\cosh ^{ - 1}}x = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ & $\left< {1, + \infty } \right)$ \\ \hline ${\tanh ^{ - 1}}x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}$ & $\left( { - 1,1} \right)$ \\ \hline ${\coth ^{ - 1}}x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ & $\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)$ \\ \hline ${\operatorname{sech} ^{ - 1}}x = \ln \dfrac{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}{x}$ & $\left( {0,1} \right>$ \\ \hline $\operatorname{csch}^{ - 1}x = \ln \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\left| x \right|}}} \right)$ & $\left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$ \\ \hline\end{tabular}\end{center}

Bài tập

Áp dụng cho các bài từ 1-3. Tìm tập xác định của hàm số:1. $y = \arccos \left( {2\sin x} \right)$2. $y = \arcsin \left( {\dfrac{{x - 3}}{2}} \right) - \log \left( {4 - x} \right)$3. $y = \dfrac{{\arctan \left( {1 - \sqrt {2x - 1} } \right)}}{x}$4. Cho $u = \sqrt {1 + {v^2}}$, $y = {e^v}$, $x = \arcsin y$ . Tìm $u\left( x \right)$.Áp dụng cho các bài từ 5-9 Chứng minh công thức sau:5. $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi }{2}$6. $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi }{2}$7. $\arcsin x = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$8. $\arctan x = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)$9. $\sin \left( {\arccos x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $