Hàm số liên tục còn được đọc là xét tính tiếp tục của hàm số, đấy là một một chủ để quan trọng đặc biệt thuộc toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. Là kỹ năng và kiến thức căn bạn dạng để chúng ta học giỏi chủ đề hàm số. Bài viết này đang tóm lược những triết lý trọng tâm cần nhớ bên cạnh đó phân dạng bài xích tập cụ thể giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải bài tập hàm số liên tục.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục


1. Lý thuyết hàm số liên tục

1.1 Hàm số thường xuyên tại một điểm

Hàm số liên tục là gì?

Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được hotline là thường xuyên tại điểm x0 ∈ (a; b) trường hợp $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được điện thoại tư vấn là đứt quãng tại x0 với điểm x0 được call là điểm đứt quãng của hàm số y = f(x).

Nhận xét. Hàm số được điện thoại tư vấn là tiếp tục tại điểm x0 nếu ba đk sau được đôi khi thỏa mãn:


f(x) khẳng định tại x0.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ tồn tại.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = f(x0)

Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu gồm ít nhất 1 trong những 3 đk trên ko thỏa mãn. Giả dụ sử dụng số lượng giới hạn một mặt thì:

*

Đặc trưng khác của tính thường xuyên tại một điểm

Cho hàm số y = (x) khẳng định trên (a; b). Giả sử x0 cùng x (x ≠ x0) là hai phần tử của (a; b)

Hiệu x−x0, ký kết hiệu: ∆x, được call là số gia của đối số tại điểm x0. Ta có: ∆x = x−x0 ⇔ x = x0+∆x.

Hiệu y − y0, ký hiệu: ∆y, được gọi là số gia tương xứng của hàm số trên điểm x0. Ta có: ∆y = y − y0 = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).


Đặc trưng: cần sử dụng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính thường xuyên của hàm số y = f(x) tại điểm x0 như sau:

1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tiếp trong khoảng tầm (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng tầm đó.Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn ví như nó:

*

1.3 những định lý về hàm số liên tục

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, yêu đương (với mẫu số không giống 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Giả sử y = f(x) với y = g(x) là hai hàm số tiếp tục tại điểm x0. Lúc đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) và y = f(x).g(x) liên tiếp tại điểm x0Hàm số $y = fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tiếp tục tại x0 nếu như g(x0) = 0

Định lí 3. Các hàm nhiều thức, hàm số hữu tỉ, các chất giác là liên tiếp trên tập khẳng định của nó.


*

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính tiếp tục của hàm số trên một điểm

*

Dạng 2. Xét tính liên tiếp của hàm số trên một điểm

*

Dạng 3. Xét tính tiếp tục của hàm số bên trên một khoảng

Để xét tính thường xuyên hoặc xác minh giá trị của tham số để hàm số tiếp tục trên khoảng tầm I, bọn họ thực hiện nay theo quá trình sau:

bước 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên các khoảng đơn.Bước 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại những điểm giao.Bước 3: Kết luận

Dạng 4. áp dụng tính liên tiếp của hàm số để bệnh minh

Cho phương trình f(x) = 0, để minh chứng phương trình bao gồm k nghiệm vào , ta thực hiện theo quá trình sau

*

Dạng 5. Sử dụng tính tiếp tục của hàm số để xét lốt hàm số

Sử dụng tác dụng : “Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục và không triệt tiêu bên trên đoạn thì bao gồm dấu khăng khăng trên khoảng tầm (a; b)”

3. Bài bác tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính liên tiếp của hàm số sau trên điểm x0 = 1:

*

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên một điểm

Hàm số khẳng định với phần đông x ∈ R

*

Bài tập 2. Cho hàm số

*

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số trên một điểm

*

Bài tập 3. Minh chứng hàm số $fleft( x ight) = sqrt 8 – 2x^2 $ liên tục trên đoạn < -2; 2>

Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính thường xuyên của hàm số trên một khoảng

Hàm số liên tục trên đoạn <−2; 2>

Với x0 ∈ (−2; 2), ta có: $mathop lim limits_x o x_0 sqrt 8 – 2x^2 = sqrt 8 – 2x_0^2 = fleft( x_0 ight)$

Vậy, hàm số thường xuyên trên khoảng (−2; 2).

Xem thêm: D A Bình Trừ B Bình - Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả

Ngoài ra, sử dụng giới hạn một bên ta chứng tỏ được:

Hàm số f(x) liên tục phải tại điểm x0 = −2.Hàm số f(x) liên tiếp trái tại điểm x0 = 2.Vậy, hàm số liên tiếp trên đoạn <−2; 2>.

Bài tập 4. Chứng tỏ rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 tất cả nghiệm trên khoảng tầm (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. áp dụng tính liên tục của hàm số để hội chứng minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 tiếp tục trên R ta tất cả :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 Toán học tập giải đáp các bạn rõ hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả,