A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

- Định nghĩa: Hàm số

*
với
*
, được hotline là hàm số lũy thừa.

Bạn đang xem: Hàm lũy thừa

- Tập xác định:

+

*
nếu
*
là số nguyên dương.

+

*
nếu
*
nguyên âm hoặc bởi 0.

+

*
với
*
không nguyên.

- Đạo hàm:

+ Hàm số

*
có đạo hàm cùng với mọi
*
0" />và
*
.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

*
.

- đặc thù của hàm số lũy vượt trên khoảng

*
:

2. Hàm số mũ

- Hàm số

*
0,a e 1)" />được điện thoại tư vấn làhàm số mũcơ số
*
.

- Hàm số

*
có đạo hàm trên mọi
*
và
*
. Đặc biệt:
*
.

- những tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi

*
0,a e 1)" />được điện thoại tư vấn là hàm số logarit cơ số
*
.

- Hàm số logarit bao gồm đạo hàm tại mọi

*
0" />và
*
.

Đặc biệt

*
.

- các tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số đồng biến;

+ Khi

*
!! ext }^alpha }" />:

+ khẳng định với mọi

*
nếu
*
nguyên dương.

+ xác định với

*
nếu
*
nguyên âm.

+ xác minh với

*
0" />nếu
*
không nguyên.

* Hàm số mũ

*
xác định khi
*
xác định
*
.

+

*
xác định
*
.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Tập xác định của hàm số

*
là

A.

*
!! ext cup ext !!!! ext " />. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
0Leftrightarrow xin (-1;-frac12)cup (0;frac43)" />.

Chọn C.

Ví dụ 1.2:Tập xác minh của hàm số

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số đã mang lại xác định

*

Vậy tập khẳng định của hàm số là

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.3:Tìm x để hàm số

*
xác định.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
" />.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
để hàm số
*
có tập xác định
*
?

A.

*
-2" />. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số bao gồm tập xác định là

*
để hàm số
*
xác định trên
*
.

A.

*
. B.
*
0\x-m>0endarray ight.Leftrightarrow left eginarraylxmendarray ight." />

Suy ra tập xác định của hàm số là

*
với
*
.

Hàm số xác minh trên

*
suy ra
*
.

Chọn lời giải A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự trở thành thiên – Min, max

A. Phương pháp

- Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

- Hàm số

*
đồng phát triển thành trên
*
.

- Hàm số

*
nghịch trở nên trên
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Tính đạo hàm các hàm số sau :

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

Lời giải:

a)

*

b)

*

c)

*

d/

*

e)

*

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm những hàm số sau :

a.

*
b.
*
c.
*
ln ^2x" />

d.

*
e.
*
f.
*

Lời giải:

a)

*
.

b)

*
.

c)

*
ln ^2xRightarrow y"=left< left( ln x ight)^frac23 ight>"=frac23left( ln x ight)^-frac13frac1x=frac23xsqrt<3>ln x" />.

d)

*

e)

*
=fracx^2+10x+9left( x+5 ight)left( x^2-9 ight)ln 3" />

f)

*
=fracleft( sqrtx+1 ight)8xln 10left( 1-sqrtx ight)" />

Ví dụ 2.3 (THPT chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3)Trong các hàm số sau, hàm số như thế nào đồng biến đổi trên tập xác minh của nó?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*
là giá trị nhỏ dại nhất với giá trị lớn số 1 của hàm số
*
trên
*
" />. Xác minh nào tiếp sau đây đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Do

*
là hàm nghịch trở thành trên
*
" />nên
*
.

Chọn lời giải C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017)Cho hàm số

*
. Tìm giá bán trị mập nhất
*
của hàm số trên
*
" />.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
.Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017)Tìm tập hợp các giá trị của tham số

*
để đồ thị hàm số
*
đồng thay đổi trên
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
" />. D.
*
" />.

Lời giải:

Ta có

*
.

Hàm số đồng trở nên trên

*
khi còn chỉ khi

*
0\Delta "=1-m^2le 0endarray ight.Leftrightarrow mge 1" />.Chọn A.

Ví dụ 2.7:Xét những số thực

*
,
*
thỏa mãn
*
b>1" />. Tìm giá trị nhỏ nhất
*
của biểu thức
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Với đk đề bài, ta có

*
^2}+3log _bleft( fracab ight)=4left< log _fracableft( fracab.b ight) ight>^2+3log _bleft( fracab ight)" />

*
}^2}+3log _bleft( fracab ight)." />

Đặt

*
0" />(vì
*
b>1" />), ta có
*
.

Ta có

*

Vậy

*
. điều tra khảo sát hàm số, ta có
*
.Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ với hàm số logarit

Ví dụ3.1:Đường cong trong hình bên là đồ gia dụng thị của một hàm số trong tứ hàm số được liệt kê ở tứ phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số sẽ là hàm số nào?

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Nhận thấy đó là đồ thị của hàm số logarit

*
nên nhiều loại đáp án C, D.

Điểm

*
thuộc trang bị thị hàm số nên:

*
.

Ví dụ3.2:Tìm

*
để hàm số
*
.Chọn A.

Ví dụ3.3:Biết hàm số

*
có thiết bị thị như hình bên.

Khi đó, hàm số

*
có vật dụng thị là hình làm sao trong tứ hình được liệt kê ở bốn đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
là hàm số chẵn nên nhận Oy có tác dụng trục đối xứng.

Vậy chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3.4:Tìm toàn bộ các quý hiếm thực của

*
để hàm số
*
nên chọn lời giải C.

Ví dụ 3.5:Đồ thị hàm số

*
là hình làm sao trong bốn hình được liệt kê ở tư phương án A, B, C, D dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
không có phần nằm bên dưới trục hoành đề xuất loại câu trả lời C.

Hàm số

*
xác định cùng với mọi
*
0" />nên trang bị thị hàm số
*
không cắt trục Oy.

Vậy chọn giải đáp A.

Ví dụ 3.6:Hình mặt là đồ dùng thị của ba hàm số

*
b>c" />.

B.

*
a>c" />.

C.

*
c>a" />.

D.

*
c>b" />.

Lời giải:

Do

*
và
*
là nhì hàm đồng phát triển thành nên
*
1" />.

Do

*
nghịch thay đổi nên
*
.

Dễ thấy

*
a>c" />.Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất vay ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà ngoài trên chi phí lãi vì chưng số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

*
.

Trong đó:

*
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gửi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số chi phí lãi không những tính trên số chi phí gốc mà còn tính bên trên số tiền lãi vị tiền cội đó sinh ra chuyển đổi theo từng định kì.

- Lãi kép gửi một lần:

*

Trong đó:

*
: Số chi phí cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gởi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

- Lãi kép gởi định kì

Trường vừa lòng 1: chi phí được gửi vào thời gian cuối mỗi tháng.

Cuối tháng đầu tiên cũng là lúc bạn đó bắt đầu gửi tiền:

*
.

Cuối tháng vật dụng hai, bạn đó tất cả số tiền là:

*
=fracMleft< (1+r)-1 ight>left< (1+r)^2-1 ight>=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />

Cuối tháng sản phẩm công nghệ ba:

*
(1+r)+fracMr.r=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />.

Cuối tháng sản phẩm công nghệ n, người đó tất cả số chi phí là:

*
" />.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đ vào một công ti theo thể thức lãi kép cùng với lãi suất

*
một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút chi phí lãi thì chưng Hiếu thu được từng nào tiền lãi? (Giả sử rằng lãi suất vay hàng năm ko đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác bỏ Hiếu nhận được số chi phí lãi là

*
=48,155" />triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2:Cô Mai gửi 100 triệu đ vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 mon với lãi suất

*
một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được từng nào tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý ko đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là

*
kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số chi phí là

*
triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3:Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi kia thu đuợc gấp rất nhiều lần số chi phí ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền lúc đầu là T số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau n năm là

*
(công thức lãi kép)

*
.Đáp án D.

Ví dụ 2.4(Đề minh họa năm 2017) Ông A vay thời gian ngắn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất

*
trên năm. Ông ý muốn hoàn nợ cho bank theo giải pháp sau: sau đúng một tháng tính từ lúc ngày vay, ống bắt đầu hoàn nợ; nhị lần trả nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở các lần là đồng nhất và trả không còn tiền nợ sau đúng ba tháng tính từ lúc ngày vay. Hỏi, theo phong cách đó, số tiền
*
mà ông A đề nghị trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất bank không biến hóa trong thời hạn ông A trả nợ.

A.

*
B.
*

C.

*
D.
*

Lời giải:

Lãi suất

*
một năm tương ứng
*
một tháng nên
*
.

Sau một tháng ông A hoàn nợ 1 lần, các lần hoàn nợ tiếp theo kế tiếp một tháng. Ông A trả hết nợ sau 3 tháng, có nghĩa là ông A trả nợ 3 lần.

Gọi

*
(đồng) là số tiền ông A hoàn nợ mỗi tháng.

Cuối tháng sản phẩm công nghệ nhất, ông A nợ

*
(triệu đồng).

Đã trả hết

*
đồng yêu cầu còn nợ
*
(triệu đồng).

Xem thêm: Tác Hại Của La Vối - Điều Cần Tránh Khi Sử Dụng Lá Vối

Cuối tháng sản phẩm công nghệ hai ông A còn nợ:

*
!! ext (1+1%)-m=100(1+1%)^2-m(1+1%)" />.

Cuối mon thứ cha ông A còn nợ:<100(1+1%)2-m(1+1%)-m>(1+1%)-m=100(1+1%)3-m(1+1%)2-m=100(1+1%)3-m(1+1%)31%