A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

- Định nghĩa: Hàm số

*
với
*
, được gọi là hàm số lũy thừa.

Bạn đang xem: Hàm lũy thừa

- Tập xác định:

+

*
nếu
*
là số nguyên dương.

+

*
nếu
*
nguyên âm hoặc bằng 0.

+

*
với
*
không nguyên.

- Đạo hàm:

+ Hàm số

*
có đạo hàm với mọi
*
0" />và
*
.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

*
.

- Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng

*
:

2. Hàm số mũ

- Hàm số

*
0,a\ne 1)" />được gọi làhàm số mũcơ số
*
.

- Hàm số

*
có đạo hàm tại mọi
*
*
. Đặc biệt:
*
.

- Các tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi

*
0,a\ne 1)" />được gọi là hàm số logarit cơ số
*
.

- Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi

*
0" />và
*
.

Đặc biệt

*
.

- Các tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số đồng biến;

+ Khi

*
\!\!\text{ }}^{\alpha }}" />:

+ Xác định với mọi

*
nếu
*
nguyên dương.

+ Xác định với

*
nếu
*
nguyên âm.

+ Xác định với

*
0" />nếu
*
không nguyên.

* Hàm số mũ

*
xác định khi
*
xác định
*
.

+

*
xác định
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Tập xác định của hàm số

*

A.

*
\!\!\text{ }\cup \text{ }\!\!<\!\!\text{ }0;\frac{4}{3}\text{ }\!\!>\!\!\text{ }" />. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
0\Leftrightarrow x\in (-1;-\frac{1}{2})\cup (0;\frac{4}{3})" />.

Chọn C.

Ví dụ 1.2:Tập xác định của hàm số

*

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định

*

Vậy tập xác định của hàm số là

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.3:Tìm x để hàm số

*
xác định.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
" />.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
để hàm số
*
có tập xác định
*
?

A.

*
-2" />. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định là

*
để hàm số
*
xác định trên
*
.

A.

*
. B.
*
0\\x-m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xm\end{array} \right." />

Suy ra tập xác định của hàm số là

*
với
*
.

Hàm số xác định trên

*
suy ra
*
.

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự biến thiên – Min, max

A. Phương pháp

- Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

- Hàm số

*
đồng biến trên
*
.

- Hàm số

*
nghịch biến trên
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Tính đạo hàm các hàm số sau :

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

Lời giải:

a)

*

b)

*

c)

*

d/

*

e)

*

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a.

*
b.
*
c.
*
{{{\ln }^{2}}x}" />

d.

*
e.
*
f.
*

Lời giải:

a)

*
.

b)

*
.

c)

*
{{{\ln }^{2}}x}\Rightarrow y"=\left< {{\left( \ln x \right)}^{\frac{2}{3}}} \right>"=\frac{2}{3}{{\left( \ln x \right)}^{-\frac{1}{3}}}\frac{1}{x}=\frac{2}{3x\sqrt<3>{\ln x}}" />.

d)

*

e)

*
=\frac{{{x}^{2}}+10x+9}{\left( x+5 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)\ln 3}" />

f)

*
=\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)}{8x\ln 10\left( 1-\sqrt{x} \right)}" />

Ví dụ 2.3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3)Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
*
trên
*
" />. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Do

*
là hàm nghịch biến trên
*
" />nên
*
.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017)Cho hàm số

*
. Tìm giá trị lớn nhất
*
của hàm số trên
*
" />.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
.Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017)Tìm tập hợp các giá trị của tham số

*
để đồ thị hàm số
*
đồng biến trên
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
" />. D.
*
" />.

Lời giải:

Ta có

*
.

Hàm số đồng biến trên

*
khi và chỉ khi

*
0\\\Delta "=1-{{m}^{2}}\le 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1" />.Chọn A.

Ví dụ 2.7:Xét các số thực

*
,
*
thỏa mãn
*
b>1" />. Tìm giá trị nhỏ nhất
*
của biểu thức
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

*
}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)=4{{\left< {{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( \frac{a}{b}.b \right) \right>}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)" />

*
}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)." />

Đặt

*
0" />(vì
*
b>1" />), ta có
*
.

Ta có

*

Vậy

*
. Khảo sát hàm số, ta có
*
.Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ3.1:Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số logarit

*
nên loại đáp án C, D.

Điểm

*
thuộc đồ thị hàm số nên:

*
.

Ví dụ3.2:Tìm

*
để hàm số
*
.Chọn A.

Ví dụ3.3:Biết hàm số

*
có đồ thị như hình bên.

Khi đó, hàm số

*
có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4:Tìm tất cả các giá trị thực của

*
để hàm số
*
nên chọn đáp án C.

Ví dụ 3.5:Đồ thị hàm số

*
là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
không có phần nằm dưới trục hoành nên loại đáp án C.

Hàm số

*
xác định với mọi
*
0" />nên đồ thị hàm số
*
không cắt trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6:Hình bên là đồ thị của ba hàm số

*
b>c" />.

B.

*
a>c" />.

C.

*
c>a" />.

D.

*
c>b" />.

Lời giải:

Do

*
*
là hai hàm đồng biến nên
*
1" />.

Do

*
nghịch biến nên
*
.

Dễ thấy

*
a>c" />.Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

*
.

Trong đó:

*
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gửi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.

- Lãi kép gửi một lần:

*

Trong đó:

*
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gửi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

- Lãi kép gửi định kì

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền:

*
.

Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:

*
=\frac{M}{\left< (1+r)-1 \right>}\left< {{(1+r)}^{2}}-1 \right>=\frac{M}{r}\left< {{(1+r)}^{2}}-1 \right>" />

Cuối tháng thứ ba:

*
(1+r)+\frac{M}{r}.r=\frac{M}{r}\left< {{(1+r)}^{2}}-1 \right>" />.

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là:

*
" />.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất

*
một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác Hiếu thu được số tiền lãi là

*
=48,155" />triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2:Cô Mai gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 tháng với lãi suất

*
một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là

*
kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số tiền là

*
triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3:Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu là T số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau n năm là

*
(công thức lãi kép)

*
.Đáp án D.

Ví dụ 2.4(Đề minh họa năm 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất

*
trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
*
mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A.

*
B.
*

C.

*
D.
*

Lời giải:

Lãi suất

*
một năm tương ứng
*
một tháng nên
*
.

Sau một tháng ông A hoàn nợ 1 lần, các lần hoàn nợ tiếp theo sau đó một tháng. Ông A trả hết nợ sau 3 tháng, tức là ông A hoàn nợ 3 lần.

Gọi

*
(đồng) là số tiền ông A hoàn nợ mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất, ông A nợ

*
(triệu đồng).

Đã trả hết

*
đồng nên còn nợ
*
(triệu đồng).

Xem thêm: Tác Hại Của La Vối - Điều Cần Tránh Khi Sử Dụng Lá Vối

Cuối tháng thứ hai ông A còn nợ:

*
\!\!\text{ }(1+1%)-m=100{{(1+1%)}^{2}}-m(1+1%)" />.

Cuối tháng thứ ba ông A còn nợ:<100(1+1%)2-m(1+1%)-m>(1+1%)-m=100(1+1%)3-m(1+1%)2-m=100(1+1%)3-m(1+1%)31%