Hướng dẫn giải Bài §1. Mệnh đề, Chương I. Mệnh đề. Tập hợp, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 9 10 sgk Đại số 10 cơ bản bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Bạn đang xem: Giải toán lớp 10 bài 1

Lý thuyết

I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến

1. Mệnh đề

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Ví dụ:

Số 2 là số nguyên tố là một mệnh đề đúng.

5 chia hết cho 3 là mệnh đề sai.

2. Mệnh đề chứa biến

Ví dụ: Xét các câu :

(a): “7 + x = 3”

(b): “n là số nguyên tố”

Hãy tìm hai giá trị của x, n để (a), (b) nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh sai.

Câu (a) và (b) là những ví dụ về mệnh đề chứa biến.

II. Phủ định của một mệnh đề

Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline P \), ta có :

\(\overline P \) đúng khi P sai.

\(\overline P \) sai khi P đúng.

Ví dụ:

Cho mệnh đề P: “\(\pi \) là một số hữu tỷ”. Ta có: \(\overline P :\) “\(\pi \) không là một số hữu tỷ”.

Cho mệnh đề Q: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba”. Ta có: \(\overline Q :\) “Tổng hai cạnh của một tam giác không lớn hơn cạnh thứ ba”.

III. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Các mệnh đề toán học thường có dạng \(P \Rightarrow Q\)

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.

Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ:

Cho mệnh đề: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì ABC là một tam giác đều”.

GT: Tam giác ABC có hai góc bằng 600.

KL: ABC là một tam giác đều.

IV. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\) và đọc là P tương đương Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.

V. Kí hiệu \(\forall \) và \(\exists \).

Ví dụ: Cho các mệnh đề sau:

P: “Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó”.

Q: “Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó”.

Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề P, Q, \(\overline P \), \(\overline Q \).

Ta có:

+ \(\overline P :\) “Có một số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng số đối của nó”.

+ \(\overline Q :\) “Mọi số hữu tỷ đều lớn hơn hoặc bằng nghịch đảo của nó”.

+ P sai, \(\overline P \) đúng vì số 0 không có số đối.

+ Q đúng, \(\overline Q \) sai, chẳng hạn \(\frac{1}{2} Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 4 sgk Đại số 10

Nhìn vào hai bức tranh ở trên, hãy đọc và so sánh các câu ở bên trái và bên phải.

*

Trả lời:

Các câu ở bên trái là các câu khẳng định, có tính đúng sai.

Các câu ở bên phải không thể nói là đúng hay sai.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 4 sgk Đại số 10

Nêu ví dụ về những câu là mệnh đề và những câu không là mệnh đề.

Trả lời:

Ví dụ về câu là mệnh đề:

5 là số nguyên tố.

Sắt là kim loại.

Ví dụ về câu không phải là mệnh đề:

Hôm nay là thứ mấy?

Trời đẹp quá!

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 5 sgk Đại số 10

Xét câu $“x > 3”$. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Trả lời:

Với $x = 5$, mệnh đề nhận được là mệnh đề đúng.

Với $x =1$, mệnh đề nhận được là mệnh đề sai.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 6 sgk Đại số 10

Hãy phủ định các mệnh đề sau:

$P: $“ π là một số hữu tỉ”;

$Q: $“Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba”.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của chúng.

Trả lời:

Mệnh đề $P$: là mệnh đề sai

Mệnh đề phủ định $P$: “ π không là một số hữu tỉ”;

Mệnh đề $Q$: là mệnh đề đúng

Mệnh đề phủ định $Q$: “Tổng hai cạnh của một tam giác không lớn hơn cạnh thứ ba”.

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 6 sgk Đại số 10

Từ các mệnh đề:

$P$: “Gió mùa Đông Bắc về”

$Q$: “Trời trở lạnh”

Hãy phát biểu mệnh đề $P ⇒ Q$

Trả lời:

$P ⇒ Q$: “Nếu gió mùa Đông Bắc về thì trời trở lạnh.”

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 7 sgk Đại số 10

Cho tam giác $ABC$. Từ các mệnh đề

$P$: “Tam giác $ABC$ có hai góc bằng 60o ”

$Q$: “$ABC$ là một tam giác đều”

Hãy phát biểu định lí $P ⇒ Q$. Nêu giả thiết, kết luận và phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

Trả lời:

$P ⇒ Q$: “ Nếu tam giác $ABC$ có hai góc bằng 60o thì $ABC$ là một tam giác đều”

Giả thiết: “Tam giác $ABC$ có hai góc bằng 60o ”

Kết luận: “$ABC$ là một tam giác đều”

Phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần: “$ABC$ là một tam giác đều là điều kiện cần để tam giác $ABC$ có hai góc bằng 60o”

Phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện đủ: “Tam giác $ABC$ có hai góc bằng 60olà điều kiện đủ để $ABC$ là tam giác đều”

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 7 sgk Đại số 10

Cho tam giác $ABC$. Xét các mệnh đề dạng $P ⇒ Q$ sau

a) Nếu $ABC$ là một tam giác đều thì $ABC$ là một tam giác cân.

b) Nếu $ABC$ là một tam giác đều thì $ABC$ là một tam giác cân và có một góc bằng 60o

Hãy phát biểu các mệnh đề $Q ⇒ P$ tương ứng và xét tính đúng sai của chúng.

Trả lời:

a) Nếu $ABC$ là một tam giác cân thì $ABC$ là tam giác đều.

⇒ Đây là mệnh đề sai

b) Nếu ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 60o thì ABC là một tam giác đều

⇒ Đây là mệnh đề đúng.

8. Trả lời câu hỏi 8 trang 8 sgk Đại số 10

Phát biểu thành lời mệnh đề sau:

$∀n ∈ Z : n + 1 > n$

Mệnh đề này đúng hay sai?

Trả lời:

Với mọi $n$ thuộc tập số nguyên, $n + 1$ lớn hơn $n$.

⇒ Mệnh đề này đúng.

9. Trả lời câu hỏi 9 trang 8 sgk Đại số 10

Phát biểu thành lời mệnh đề sau:

$∃ x ∈ Z $: x2 $= x$

Mệnh đề này đúng hay sai ?

Trả lời:

Tồn tại số x thuộc tập số nguyên sao cho x bình phương bằng $x$.

Mệnh đề này đúng vì $0 ∈ Z$; 02 $= 0$

10. Trả lời câu hỏi 10 trang 8 sgk Đại số 10

Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

$P$: “Mọi động vật đều di chuyển được”.

Trả lời:

“Tồn tại động vật không di chuyển được”

11. Trả lời câu hỏi 11 trang 9 sgk Đại số 10

Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau

$P$: “Có một học sinh của lớp không thích học môn Toán”.

Trả lời:

“Tất cả học sinh của lớp đều thích học môn Toán”

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 9 10 sgk Đại số 10 cơ bản. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

magdalenarybarikova.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 9 10 sgk Đại số 10 cơ bản của Bài §1. Mệnh đề trong Chương I. Mệnh đề. Tập hợp cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 9 10 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 9 sgk Đại số 10

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) \(3 + 2 = 7\);

b) \(4 + x = 3\);

c) \(x + y > 1\);

d) \(2 – \sqrt{5 } 1\), đúng khi \(\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2 \end{matrix}\right.\), sai khi \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0 \end{matrix}\right.\) . Vậy câu này cũng không phải mệnh đề.

⇒ Đây là mệnh đề chứa biến.

d) Câu \(2 – \sqrt{5 }

2. Giải bài 2 trang 9 sgk Đại số 10

Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.

a) $1794$ chia hết cho $3$;

b) \(\sqrt{2}\) là một số hữu tỉ:

c) \(\pi 0\).

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \(k=\) là mệnh đề: \(\overline{k}=”\left | -1,25 \right |> 0″\).

3. Giải bài 3 trang 9 sgk Đại số 10

Cho các mệnh đề kéo theo:

Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$ ($a, b, c$ là những số nguyên).

Các số nguyên có tận cùng bằng $0$ đều chia hết cho $5$.

Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.

b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện “điều kiện đủ”.

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện “điều kiện cần”.

Bài giải:

a) Mệnh đề đảo

Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ nhất là: “Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ thì $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$”. Mệnh đề này sai.

Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ hai là: “Các số chia hết cho $5$ đều có tận cùng bằng $0$”. Mệnh đề này sai.

Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ ba là: “Một tam giác có hai trung tuyển bằng nhau thì tam giác ấy cân”. Mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ tư là: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau”. Mệnh đề này sai.

b) Sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” thì:

Mệnh đề thứ nhất phát biểu là: “Để $a + b$ chia hết cho $c$, điều kiện đủ là $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$”

Mệnh đề thứ hai phát biểu là: “Để một số chia hết cho $5$, điều kiện đủ là chữ số tận cùng của số ấy bằng $0$”.

Mệnh đề thứ ba phát biểu là: “Để một tam giác hai trung tuyến bằng nhau, điều kiện đủ là tam giác ấy cân”.

Mệnh đề thứ tư phát biểu là: “Để hai tam giác có diện tích bằng nhau, điều kiện đủ là hai tam giác ấy bằng nhau”.

c) Sử dụng khái niệm điều cần thì:

Mệnh đề thứ phát biểu là: “Để $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$, điều kiện cần là số ấy chia hết cho $5$”.

Mệnh đề thứ hai phát biểu là: “Để một số có tận cùng bằng $0$, điều kiện cần là số ấy chia hết cho $5$”.

Mệnh đề thứ ba phát biểu là: “Để một tam giác cân, đều kiện cần là tam giác ấy có hai trung tuyến bằng nhau”.

Mệnh đề thứ tư phát biểu là: “Để hai tam giác bằng nhau, điều kiện cần là chúng có diện tích bằng nhau”.

4. Giải bài 4 trang 9 sgk Đại số 10

Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$ và ngược lại.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

Bài giải:

a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho $9$ là tổng các chữ số của nó chia hết cho $9$.

b) Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

c) Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.

5. Giải bài 5 trang 10 sgk Đại số 10

Dùng kí hiệu \(\forall , \exists\) để viết các mệnh đề sau

a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0;

c) Một số cộng vớ số đối của nó đều bằng 0.

Bài giải:

a) Mọi số nhân với $1$ đều bằng chính nó

KH: \(\forall x \in \mathbb{R}: x.1=x\);

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0

KH: \(\exists a \in \mathbb{R}: a+a=0\);

c) Một số cộng vớ số đối của nó đều bằng 0

KH: \(\forall x \in \mathbb{R}: x+(-x)=0\).

6. Giải bài 6 trang 10 sgk Đại số 10

Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a) \(\forall x \in R: x^2>0\);

b) \(\exists n \in N: n^2=n\);

c) \(\forall n \in N: n \leq 2n\);

d) \(\exists x \in R: x2 > 0″ là sai.

b) Có ít nhất một số tự nhiên bằng bình phương của nó.

Đây là mệnh đề đúng, chẳng hạn: 12=1.

c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.

Đây là mệnh đề đúng vì bất đẳng thức: \(2n>n\Leftrightarrow n>0\) là đúng với mọi số tự nhiên n.

d) Có ít nhất một số thực nhỏ hơn số nghịch đảo của chính nó.

Đây là mệnh đề đúng. Chẳng hạn: \(\frac{1}{3}

7. Giải bài 7 trang 10 sgk Đại số 10

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai cuả nó

a) \(\forall n \in N: n\) chia hết cho n;

b) \(\exists x \in Q: x^2=2\);

c) \(\forall x \in R: xc) \(\exists x \in \mathbb{R} :x\geq x+1\)

Đây là mệnh đề sai, vì bất phương trình: \(x\geq x+1\Leftrightarrow 0\geq 1\) vô nghiệm.

Xem thêm: 5 Câu Ca Dao Về Tình Cảm Gia Đình Lớp 7, Ca Dao Việt Nam Về Tình Cảm Gia Đình

d) \(\forall x \in \mathbb{R} :3x \neq x^2+1\)

Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn với: \(x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì \(3\left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )=\left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^2+1\) là đúng.

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 9 10 sgk Đại số 10!