Số phức và các dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng với khá nặng nề hiểu, một trong những phần nguyên nhân là bọn họ đã vượt quen với số thực trong những năm học trước.

Bạn đang xem: Giải bài tập số phức


Vì vậy, ở bài viết này magdalenarybarikova.com sẽ hệ thống lại những dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn bí quyết giải những dạng bài tập này. Trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài xích tập số phức, chúng ta cũng phải nhớ những nội dung về định hướng số phức.

I. Triết lý về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập vừa lòng số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
, 
*

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , () được trình diễn bởi điểm M(a,b) xuất xắc bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 tất cả đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- đến phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân chia số phức dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) cùng z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• mang lại z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Các dạng toán về Số phức và bí quyết giải

• Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và đặc thù phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi giám sát và đo lường các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng giỏi hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: đến số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng thứ nhất của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ bỏ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các đặc thù của số phức, những phép chuyển đổi để giải quyết và xử lý bài toán.

° ví dụ 1: tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức yêu cầu tìm là 1 + i với 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: khẳng định phần thực phần ảo, search đối số, nghịch hòn đảo module, phối hợp của số phức và trình diễn hình học tập của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài toán tương quan tới đặc thù của số phức.

♦ các loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- cách giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức vẫn cho tất cả phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức vẫn cho gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức vẫn cho bao gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ một số loại 2: trình diễn hình học của số phức

- phương pháp giải: áp dụng điểm M(a;b) màn biểu diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn biểu diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức làm sao có biểu diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn trình diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- cách giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: search mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- có

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: tìm số đối của số phức

- giải pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ loại 5: tìm kiếm số phức liên hợp của số phức z

- cách giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức phối hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z với giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ một số loại 6: tra cứu số phức nghịch đảo của số phức

- phương pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm những số thực khi 2 số phức bởi nhau.

- cách giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương thức giải:

♦ loại 1: Số phức z toại nguyện về độ lâu năm (module) lúc đó ta áp dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 cùng b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hòa hợp điểm M trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập đúng theo điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) call N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy nhiên với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và tuy nhiên song cùng với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn vai trung phong I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- mặt khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) với (2) gồm VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu như w2 = z tốt (x + yi)2 = a + bi.

- lưu ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, tốt x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là những số phức a≠0

- cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình tất cả nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm kiếm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta có hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đang cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* cách thức giải: Đặt ẩn phụ và đem đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dấn thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình bắt buộc chia 2 vế cho z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) tất cả 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 chưa phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* cách thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn cơ cho hàng loạt công thức đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, cách làm Euler.

- bí quyết 1: 

*

- phương pháp 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký kết hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ vượt ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho tất cả 2 nghiệm: 

*

- phương diện khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vày z=-1 chưa hẳn là nghiệm của phương trình bắt buộc nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình sẽ cho có nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° lấy một ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z bao gồm modul bé dại nhất.

Xem thêm: Mẫu Báo Cáo Kiểm Định Chất Lượng Giáo Dục Tiểu Học Theo Thông Tư 17 Violet

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vày vậy các điểm M màn biểu diễn số phức z thoả mãn câu hỏi nằm trên đường tròn trung tâm I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O rộng và 

*