Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một dạng toán quan trọng trong đề thi THPT các năm. Top lời giải hướng dẫn chi tiết nhất cách giải dạng toán đồng biến, nghịch biến trên R qua bài viết sau:

1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến

*

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Bạn đang xem: Điều kiện để hàm số đồng biến trên r

- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:

Đối với hàm số đa thức bậc 1:

– Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0

– Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a 3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c

– TH1: a = 0 (nếu có tham số)

– TH2: a ≠ 0

*

Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x³ + 2(m-1)x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Lời giải: 

Để y = x³ + 2(m-1)x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì (m-1)² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.

Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = mx³ -mx² - (m + 4 )x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Lời giải: 

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m 2. Phân dạng bài tập tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

+) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f’(x) Quy tắc:

+) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f’(x)

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi x1 > x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) 2)

B. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) > f (x2)

C. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) 2)

D. Với mọi x1 2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) 2)

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có: f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ.

⇒ x1 2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) 2)

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a f (b)

C. f (b) Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có: f’(x) = -6x2 + 6x – 3 f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Kiến thức chung


+) Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

*

 

 

 

 

 

. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

 

 

 

 

 

 

 

Chú ý: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

+) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

+) Khi a 1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

Ví dụ 1. Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:

*

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Xem thêm: Kiểm Tra Học Kì Lớp 6 Năm 2021 (Có Đáp Án), Đề Thi Học Kì 1 Lớp 6 Môn Toán Tải Nhiều

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x3 – mx2 – (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng

*

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C

Ta có: y’ = x2 – 2mx – 3m + 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x2 – 2mx – 3m + 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ m2 + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ -1

Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.