✪ Định nghĩa : $M_0(x_0;y_0)$ là vấn đề cực trị của hàm $z=f(x;y)$ Nếu với mọi điểm $M(x_0 + Delta x;y_0 + Delta y)$ là ở bên cạnh của $M_0(x_0;y_0)$ thì ta luôn có : $Delta f = f(x_0;y_0) - M(x_0 + Delta x;y_0 + Delta y)$ không đổi dấu, cùng với : $$left< matrixDelta f ge 0 Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&đại\Delta f le 0 Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&tiểu
ight.$$ (M là ở bên cạnh của $M_0$ khi $Delta x$,$Delta y$ hơi nhỏ). ✪ phép tắc tìm cực trị: Giả sử hàm số $z=f(x;y)$ có những đạo hàm riêng biệt đến cung cấp 2 tiếp tục trong lân cận của điểm dừng $(M_0(x_0;y_0)$ Đặt $matrixA = z""_xx&;&B = z""_xy&;&C = z""_yy$ khi đó: $$left< matrixleft matrixB^2 - AC 0&(
mor&C > 0)
ight. Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&tiểu\left{ matrixB^2 - AC 0 Rightarrow matrixHàm&không&đạt&cực&trị&tại&M_0\B^2 - AC = 0 Rightarrow matrixDùng&định&nghĩa&để&xác&định
ight.$$✪ quá trình làm bài xích :●Bước 1 :Giải hệ phương trình $$left{ matrixz"_x = 0\z"_y = 0
ight. Rightarrow matrixTìm&được&nghiệm&(x_1;y_1)&(x_2;y_2)&...&(x_n;y_n)$$●Bước 2 :Tìm các đạo hàm cấp 2. $$left{ matrixA = z""_xx\B = z""_xy\C = z""_yy
ight.$$●Bước 3 :Xét những điểm nghiệm $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$,...,$(x_n;y_n)$ để tính A, B, C và xem nó nằm trong trường thích hợp nào để tính với kết luận ✪Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm số $z = 2x^4 + y^4 - 4x^2 + 2y^2$ (Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) bài bác làm: ● Ta tất cả : $$left{ matrixz"_x = 8x^3 - 8x = 0\z"_y = 4y^3 + 4y = 0
ight. Leftrightarrow left< matrix{left{ matrixx = - 1\y = 0
ight.\left{ matrixx = 0\y = 0
ight.\left matrixx = 1\y = 0
ight.
ight.$$ Suy ra gồm 3 điểm ngờ vực $M_1( - 1;0),M_2(0;0),M_3(1;0)$ ● Đặt : $$matrixA = z""_xx = 24x^2 - 8\B = z""_xy = 0\C = z""_yy = 12y^2 + 4$$ ● Xét những điểm nghi hoặc _Tại $M_1( - 1;0)$ : $$matrix{matrixA = 16,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 64 0
ight.$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại $M_1( - 1;0) Rightarrow z_CT = z( - 1;0) = - 2$ _Tại $M_2(0;0)$ : $$matrixmatrixA = - 8,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow B^2 - AC = 32 > 0$$ Suy ra hàm ko đạt rất trị tại $M_2(0;0)$ _Tại $M_3(1;0)$ : $$matrix{matrixA = 16,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 64 0
ight.$$ Suy ra hàm đạt rất tiểu tại $M_3(1;0) Rightarrow z_CT = z(1;0) = - 2$ ✪Ví dụ 2 : Tìm rất trị hàm số $$z = 2x^2 + 3y^2 - e^ - (x^2 + y^2)$$ (Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) bài xích làm: ● Ta có : $$left{ matrixz"_x = 4x + 2xe^ - (x^2 + y^2) = 0\z"_y = 6y + 2ye^ - (x^2 + y^2) = 0
ight. Leftrightarrow left{ matrixx = 0\y = 0
ight.$$ Suy ra có 1 điểm ngờ vực $M_1(0;0)$ ● Đặt : $$left{ matrixA = z""_xx = 4 + 2e^ - (x^2 + y^2) - 4x^2e^ - (x^2 + y^2)\B = z""_xy = - 4xye^ - (x^2 + y^2)\C = z""_yy = 6 + 2e^ - (x^2 + y^2) - 4y^2e^ - (x^2 + y^2)
ight.$$ ● Xét những điểm nghi ngại _Tại $M_1(0;0)$ : $$matrix{matrixA = 6,&B = 0,&C = 8\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 48 0
ight.$$ Suy ra hàm đạt rất tiểu trên $M_1(0;0) Rightarrow z_CT = z(0;0) = - 1$ ✪Ví dụ 3 : Tìm rất trị hàm số $$z = x^3 - frac32y^4 - 3xy^2$$ (Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60) bài bác làm: ● Ta bao gồm : $$left{ matrixz"_x = 3x^2 - 3y^2 = 0\z"_y = -6y^3 - 6xy = 0
ight.
Bạn đang xem: Cực trị hàm nhiều biến
Xem thêm: Trong Thí Nghiệm Y Âng Về Giao Thoa Ánh Sáng Khoảng Cách Giữa 2 Khe Là 2Mm
Leftrightarrow left< matrix{left{ matrixx = 0\y = 0
ight.\left{ matrixx = -1\y = 1
ight.\left matrixx = -1\y = - 1
ight.
ight.$$ Suy ra bao gồm 3 điểm nghi ngại $M_1(0;0)$, $M_2(-1;1)$, $M_3(-1;-1)$ ● Đặt : $$left{ matrixA = z""_xx = 6x\B = z""_xy = -6y\C = z""_yy = -18y^2 - 6x
ight.$$ ● Xét các điểm ngờ vực _Tại $M_1(0;0)$ : $$matrixmatrixA = 0,&B = 0,&C = 0\ Rightarrow B^2 - AC = 0$$Suy ra ta nên dùng định nghĩaGiả sử $N(0 + Delta x;0 + Delta y)$ là lân cân của $M_1(0;0)$ khi ấy : $$matrix{Delta z = z(0;0) - z(0 + Delta x;0 + Delta y) = z(0;0) - z(Delta x;Delta y)\ Leftrightarrow Delta z = - (Delta x)^3 + frac32(Delta y)^4 + 3(Delta x).(Delta y)^2\left matrixDelta x > 0,Delta y = 0matrix:&Delta z 0
ight.$$ $ Rightarrow Delta z$ đang đổi dấu trong sát bên $M_1(0;0)$ Suy ra hàm ko đạt cực trị tại $M_1(0;0).$ _Tại $M_2(-1;1)$ : $$matrix{matrixA = -6,&B = -6,&C = -12\ Rightarrow left{ matrix{B^2 - AC = -36_Tại $M_3(-1;-1)$ : $$matrix{matrixA = -6,&B = 6,&C = -12\ Rightarrow left{ matrix{B^2 - AC = -36