Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài xích này ta chỉ xét rất trị của hàm hai đổi thay z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cực trị của hàm nhiều biến

đến hàm f(x,y) khẳng định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là vấn đề cực tè (hoặc cực đại), ví như tồn tại
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực lớn hay cực tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt cực tiểu (cực đại) tại
*
nếu:
*

– giả dụ

*
biến hóa dấu khi
*
chuyển đổi thì hàm số ko đạt rất trị trên
*

Ví dụ: bạn hãy xét coi hàm số

*
bao gồm đạt rất trị trên M(0;0) giỏi không?

Xét

*
là 1 trong những điểm trong ở kề bên của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
biến đổi dấu cần hàm f không đạt rất trị trên M0.

2. Nguyên tắc tìm rất trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

*
đạt cực trị (địa phương) tại
*
với nếu f có những đạo hàm riêng biệt tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

*
(trường hợp hàm f đạt rất tiểu tại M0 hoàn toàn tương trường đoản cú ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, với x trong 1 khoảng làm sao đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực to tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, nếu như xét hàm

*
ta đã có:
*

Điểm

*
nhưng mà tại kia
*
, được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có những đạo hàm riêng đến cung cấp 2 thường xuyên trong ở bên cạnh của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Giả dụ

*
0) thì f đạt rất tiểu tại M0.

b. Trường hợp

*

c. Giả dụ

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt rất trị trên M0.

d. Ví như

*
ta chưa kết luận và rất cần được xét thay thể bằng phương pháp dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Tổng Hợp Tìm M Để Phương Trình Có Nghiệm Duy Nhất Cực Hay, Phương Trình Bậc 2 Có Nghiệm Duy Nhất Khi Nào

Ta thừa nhận không chứng tỏ định lý này. Việc minh chứng định lý này, phụ thuộc việc khai triển Taylor – Maclaurin đến hàm số 2 biến. Khi đó, ta đang xét dấu cho vi phân cấp 2 trong triển khai Taylor. Các chúng ta cũng có thể xem cụ thể chứng minh và bí quyết Taylor vào giáo trình Toán học thời thượng (Tập 3) của người sáng tác Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem triệu chứng minh một cách dễ hiểu nhất, chúng ta cũng có thể xem vào cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).