Trong quá trình học tập môn Toán trong công tác phổ thông, các em đang khá thân quen với các cách thức tính diện tích với thể tích của một đối tượng bằng cách xác định những yếu tố liên quan đến đối tượng người sử dụng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi khám phá khái niệm Tích phân những em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới nhằm tính diện tích hình phẳng, thể tích của thiết bị thể, thể tích khối tròn xoay chỉ trải qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Bạn đang xem: Công thức ứng dụng tích phân


1. đoạn phim bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích s hình phẳng

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích thiết bị thể

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

3. Bài tập minh hoạbài 3 Chương 3 Toán 12

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về Ứng dụng của tích phân trong hình học

4.2 bài tập SGK và nâng cấp vềỨng dụng của tích phân trong hình học

5. Hỏi đáp về bài 3 Chương 3 Toán 12


Nếu hàm số (y=f(x))liên tục trên ()thì diện tích s S của hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến phố thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b dx .)

*

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)là:(S = intlimits_a^b f(x) - g(x) ight)

*


Thể tích trang bị thể B số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại các điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong kia S(x) là diện tích s thiết diện của vật dụng thể bị cắt vì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại điểm gồm hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là một hàm liên tục.

*


Hàm số (y=f(x))liên tục cùng không âm bên trên (.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a,x=b)quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi cách làm (V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

Cho hai hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), tiếp tục và không âm trên(.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai tuyến đường thẳng(x=a,x=b)quay xung quanh trục hoành tạo cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Cho nhì hàm số hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ xoay quanh trục hoành hoành tạo cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn chuyển phiên ta thực hiện các bước:Giải phương trình(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)(Thường dạng bài xích này đề bài bác cho phương trình hoành độ giao điểm gồm hai nghiệm phân biệt).Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với hồ hết x thuộc(.)Khi đó:(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai tuyến đường thẳng (y = c,,y = d)quay quanh trục tung tạo cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

Tính diện tíchtích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến đường thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của con đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng phải tính:

(S = intlimits_ - 1^0 x^3 ight)(= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174)

Ví dụ 2:

Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tuyến phố cong là:(left( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ e^x = e endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Nhận xét, với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số (left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích hình phẳng bắt buộc tìm là (S = intlimits_0^1 dx = intlimits_0^1 xleft( e^x - e ight) ight)

Đặt (left{ {eginarray*20c u = x\ dv = left( e - e^x ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = dx\ v = ex - e^x endarray ight. ight.)

( _0^1 ight. - intlimits_0^1 left( ex - e^x ight)dx )(= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. = frace - 22.)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần đồ dùng thể số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng (x=0)và (x=3), tất cả thiết diện bị cắt vày mặt phẳng vuông góc với trục (Ox)tại điểm gồm hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật gồm hai kích cỡ bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật bao gồm hai cạnh là (x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng cách làm (V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh sản thành khi mang lại hình phẳnggiới hạn vì chưng đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của thứ thị hàm số(y = 2x - x^2) và mặt đường thẳng(y=x)là (2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là (V = pi intlimits_0^1 dx = pi intlimits_0^1 x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)

(Rightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight| = pi left| left( fracx^55 - x^4 + x^3 ight)left ight| = fracpi 5.)


Trong quy trình học tập môn Toán trong lịch trình phổ thông, những em đang khá thân quen với các cách thức tínhdiện tích với thể tíchcủa một đối tượng bằng phương pháp xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ nhiều năm cạnh, số đo góc,....Sau khi tò mò khái niệmTích phâncác em sẽ được tiếp cận một phương thức mới để tínhdiện tích hình phẳng,thể tích của thứ thể,thể tích khối tròn xoaychỉ trải qua các hàm số làỨng dụng tích phân.


Để cũng cố bài học kinh nghiệm xin mời những em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 bài 3 để soát sổ xem tôi đã nắm được nội dung bài học hay chưa.


Câu 1:Cho đồ vật thị hàm số y = f(x). Khẳng định công thức tính diện tích s S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.


A.(S = intlimits_ - 2^3 fleft( x ight)dx)B.(S = intlimits_0^ - 2 fleft( x ight)dx + intlimits_2^3 fleft( x ight)dx)C.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_3^0 fleft( x ight)dx)D.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_0^3 fleft( x ight)dx)

Câu 2:

Tính diện tích s S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y = x^4 - 5x^2 + 4), trục hoành và hai đường thẳng(x = 0;x = 1).


Câu 3:

Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn do đồ thị hàm số(y = x^3 - x)và thiết bị thị hàm số(y = x^2 - x.)


A.(S = frac116)B.(S = frac112)C.(S = frac18)D.(S = frac14)

Câu 4-10:Mời những em singin xem tiếp nội dung và thi test Online để củng cố kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học này nhé!


Bên cạnh đó các em hoàn toàn có thể xem phần khuyên bảo Giải bài bác tập Toán 12 Chương 3 bài bác 3sẽ giúp những em cầm được các phương thức giải bài tập từ SGKGiải tích 12Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Cách Quy Đồng Mẫu Số Lớp 4 Trang 116, Bài 1,2, Cách Giải Bài Tập Quy Đồng Mẫu Số Lớp 4

bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12 NC

bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

bài bác tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12


Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại thắc mắc trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.