Tổng hợp kiến thức cần nỗ lực vững, những dạng bài xích tập và thắc mắc có tài năng xuất hiện nay trong đề thi HK2 Toán học tập 10 sắp tới
Phần 1
BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình cùng hệ bất phương trình
Các phép biến đổi bất phương trình:
a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định bên trên D thì P(x) 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) 0 ta có:
(left| f(x) ight| le a Leftrightarrow - a le f(x) le a)
(left| f(x) ight| ge a Leftrightarrow left< eginarraylf(x) le - a\f(x) ge aendarray ight.)
3. Phương trình và hệ bất phương trình số 1 hai ẩn
a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) ((a^2 + b^2)( e 0))
Bước 1: vào mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by ( = c)
Bước 2: Lấy (M_o(x_o;y_o) otin (Delta )) (thường lấy (M_o equiv O))
Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.
Bạn đang xem: Công thức toán lớp 10
Bước 4: Kết luận
Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by ( le c)
Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)
b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c)được xác định tương tự.
c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Với mỗi bất phương trình vào hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
Sau khi làm như bên trên lần lượt đối với tất cả các bpt vào hệ bên trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại ko bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.
4. Lốt của tam thức bậc hai
a. Định lí về lốt của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2 – 4ac
* trường hợp (Delta )0), (forall )x( in )R
* giả dụ (Delta )= 0 thì f(x) cùng dấu với thông số a (a..f(x)>0), (forall )x( e )(frac - b2a)
* trường hợp (Delta )> 0 thì f(x) cùng dấu với thông số a lúc x 1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với thông số a khi x1 2. (Với x1, x2 là nhị nghiệm của f(x) với x12)
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2– 4ac > 0
b. Vệt của nghiệm số
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0
a) ax2 + bx + c = 0 tất cả nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2– 4ac ( ge )0
b) ax2 + bx + c = 0 bao gồm 2 nghiệm trái vệt ( Leftrightarrow )a.c 2 + bx + c = 0 gồm 2 nghiệm thuộc dấu ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\a.c > 0endarray ight.)
c) ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba > 0endarray ight.)
d) ax2 +bx +c = 0 có các nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba Chú ý: vết của tam thức bậc hai luôn luôn luôn cùng dấu với thông số a khi (Delta 2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta le 0endarray ight.)
iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) 2 + bx + c, a( e )0 )
b. Phương pháp giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ vệt tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt vế trái bởi f(x), rồi xét lốt f(x)
Bước 2: phụ thuộc vào bảng xét dấu cùng chiều của bpt để tóm lại nghiệm của bpt
Phần 2
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1. Các hệ thức lượng giác cơ bản
(eginarrayl1)sin ^2alpha + cos ^2alpha = 1\2) an alpha = fracsin alpha cos alpha left( alpha e fracpi 2 + kpi ight)\3)cot alpha = fraccos alpha sin alpha left( alpha e kpi ight)endarray)
(eginarrayl4)1 + an ^2alpha = frac1cos ^2alpha (alpha e fracpi 2 + kpi )\5)1 + cot ^2alpha = frac1sin ^2alpha (alpha e kpi )\6) an alpha .cot alpha = 1(alpha e frackpi 2)endarray)
2. Quý hiếm lượng giác của góc (cung) có tương quan đặc biệt
(eginarraylsin alpha = sin left( alpha + k2pi ight)\cos alpha = cos left( alpha + k2pi ight)endarray)
(eginarrayl an alpha = an left( alpha + kpi ight)\cot alpha = cot left( alpha + kpi ight)endarray)
+) Góc đối nhau ((alpha ) và ( - alpha ))
(cos ( - alpha ),, = ,,cos alpha )
(sin ( - alpha ),, = ,, - sin alpha )
( an ( - alpha ),, = ,, - an alpha )
(cot ( - alpha ),, = ,, - cot alpha )
+) Góc bù nhau ((alpha ) và (pi - alpha ))
(sin (pi - alpha ),, = ,,sin alpha )
(cos (pi - alpha ),, = ,, - cos alpha )
( an (pi - alpha ),, = ,, - an alpha )
(cot (pi - alpha ),, = ,, - cot alpha )
+) Góc phụ nhau((alpha ) và (fracpi 2 - alpha ))
(sin left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cos alpha )
(cos left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,sin alpha )
( an left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cot alpha )
(cot left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,, an alpha )
3. Bí quyết cộng
(eginarraylsin (a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a\sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a\cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b\cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin bendarray)
(eginarrayl an (a + b) = frac an a + an b1 - an a. an b\ an (a - b) = frac an a - an b1 + an a. an bendarray)
4. Bí quyết nhân đôi, hạ bậc
a) phương pháp nhân đôi
(sin 2alpha = 2sin alpha .cos alpha )
(eginarraylcos 2alpha \ = cos ^2alpha - sin ^2alpha ,\ = 2cos ^2alpha - 1\ = ,,1 - 2sin ^2alpha endarray)
( an 2alpha ,, = ,,frac2 an alpha 1 - an ^2alpha )
b) phương pháp hạ bậc
(eginarraycsin ^2alpha ,, = ,,frac1 - cos 2alpha 2\cos ^2alpha , = ,,frac1 + cos 2alpha 2\ an ^2alpha , = ,,frac1 - cos 2alpha 1 + cos 2alpha endarray)
5. Công thức đổi khác tích thành tổng
(eginarraylcos acos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>\sin asin b = - frac12left< cos (a + b) - cos (a - b) ight>\sin acos b = frac12left< sin (a + b) + sin (a - b) ight>endarray)
6. Cách làm biển đổi tổng thành tích
(eginarraylcos a + cos b = 2cos fraca + b2.cos fraca - b2\cos a - cos b = - 2sin fraca + b2.sin fraca - b2\sin a + sin b = 2sin fraca + b2.cos fraca - b2\sin a - sin b = 2cos fraca + b2.sin fraca - b2endarray)
(eginarrayl an a + an b = fracsin (a + b)cos a.cos b\ an a - an b = fracsin (a - b)cos a.cos b\cot a + cot b = fracsin (a + b)sin a.sin b\cot a - cot b = fracsin (b - a)sin a.sin bendarray)
Phần 3
HÌNH HỌC
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a. Các hệ thức lượng vào tam giác
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = (m_a), BN = (m_b), CP = (m_c)
Định lý cosin
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Hệ quả:
cosA = (fracb^2 + c^2 - a^22bc)
cosB = (fraca^2 + c^2 - b^22ac)
cosC = (fraca^2 + b^2 - c^22ab)
Định lý sin
(fracasin A = fracbsin B = fraccsin C)= 2R
(với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
b. Độ dài đường trung đường của tam giác
(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac2(b^2 + c^2) - a^24);
(m_b^2 = fraca^2 + c^22 - fracb^24 = frac2(a^2 + c^2) - b^24)
(m_c^2 = fracb^2 + a^22 - fracc^24 = frac2(b^2 + a^2) - c^24)
c. Các công thức tính diện tích s tam giác
S = (frac12)aha = (frac12)bhb = (frac12)chc
S = (frac12)ab.sinC = (frac12)bc.sinA = (frac12)ac.sinB
S = (fracabc4R)
S = pr
S = (sqrt p(p - a)(p - b)(p - c) ) cùng với (p = frac12(a + b + c) )
2. Phương trình con đường thẳng
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần phải biết được toạ độ 1 điều và 1 vectơ phân phát tuyến
a. Phương trình thông số của con đường thẳng d
(left{ eginarray*20cx = x_0 + tu_1\y = y_0 + tu_2endarray ight.) với M ((x_0;y_0))(in d) cùng (vec u = (u_1;u_2)) là vectơ chỉ phương (VTCP)
b. Phương trình bao quát của con đường thẳng d
a(x – (x_0)) + b(y – (y_0)) = 0 tuyệt ax + by + c = 0
(với c = – a(x_0)– b(y_0) cùng a2 + b2 ( e) 0) trong đó M ((x_0;y_0)) (in d) với (vec n = (a;b)) là vectơ pháp đường (VTPT)
+) Phương trình đường thẳng giảm hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) với B(0; b) với (ab e 0) là: (fracxa + fracyb = 1)
+) Phương trình đường thẳng trải qua điểm M ((x_0;y_0)) có hệ số góc k có dạng: y – (y_0)= k (x – (x_0))
c. Khoảng cách từ mội điểm M ((x_0;y_0)) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được xem theo công thức:
d(M; d) = (fracsqrt a^2 + b^2 )
d. Vị trí kha khá của hai đường thẳng
(Delta _1): (a_1x + b_1y + c_1)= 0
(Delta _2): (a_2x + b_2y + c_2)= 0
(Delta _1) cắt (Delta _2)( Leftrightarrow ) (fraca_1a_2 e fracb_1b_2);
Tọa độ giao điểm của (Delta _1)và (Delta _2) là nghiệm của hệ (left{ eginarrayla_1x + b_1y + c_1 m = 0\a_2x + b_2y + c_2 m = 0 endarray ight.)
(Delta _1)//(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 e fracc_1c_2)
(Delta _1)( equiv )(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 = fracc_1c_2) (với (a_2),(b_2),(c_2)khác 0)
3. Đường tròn
a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R bao gồm dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)
với c = a2 + b2 – R2
+) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình mặt đường tròn vai trung phong I(a; b) nửa đường kính R
+) Vị trí tương đối của con đường thẳng và đường tròn
d cắt ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) R
d tiếp xúc với ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) = R
b. Phương trình tiếp tuyến với mặt đường tròn
Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn
Dạng 2: Điểm A không thuộc mặt đường tròn
Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của con đường tròn vuông góc hay song song với một đường thẳng như thế nào đó
4. Phương trình Elip
a.
Xem thêm: Văn Nghị Luận Xã Hội Học Đi Đôi Với Hành Lớp 8 Hay Nhất, Nghị Luận Về Phương Pháp Học Đi Đôi Với Hành
vào mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một vài a (a > c > 0, a = const).
Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) =( M/F_1M + F_2M = 2a )
b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (a2 = b2 + c2)
c. Các thành phần của elip (E) là:
Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)
Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)
Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
Tiêu cự F1F2 = 2c
d. Hình dạng của elip (E)
+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có trung ương đối xứng là gốc tọa độ
+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm vào hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ( pm )a, y = ( pm )b