Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 10, Tổng Hợp Công Thức Toán Lớp 10 Cả Năm

Tổng hợp kiến thức cần nắm vững, các dạng bài tập và câu hỏi có khả năng xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học 10 sắp tới

Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép biến đổi bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) \( \ge \)0 và Q(x) \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) 0 ta có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow - a \le f(x) \le a\)

\(\left| {f(x)} \right| \ge a \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}f(x) \le - a\\f(x) \ge a\end{array} \right.\)

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by \( \le c\) (1) (\({a^2} + {b^2}\)\( \ne 0\))

Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (\(\Delta \)): ax + by \( = c\)

Bước 2: Lấy \({M_o}({x_o};{y_o}) \notin (\Delta )\) (thường lấy \({M_o} \equiv O\))

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bạn đang xem: Công thức toán lớp 10

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c\)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Dấu của tam thức bậc hai

a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2 – 4ac

* Nếu \(\Delta \)0), \(\forall \)x\( \in \)R

* Nếu \(\Delta \)= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \ne \)\(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

* Nếu \(\Delta \)> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x 1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x12)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2– 4ac > 0

b. Dấu của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0

a) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\Delta \)= b2– 4ac \( \ge \)0

b) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow \)a.c 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\a.c > 0\end{array} \right.\)

c) ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm dương \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} > 0\end{array} \right.\)

d) ax2 +bx +c = 0 có các nghiệm âm \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với hệ số a khi \(\Delta 2 +bx +c >0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)

iv) ax2 +bx +c \( \le \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a 0 (Hoặc f(x) \( \ge \)0, f(x) 2 + bx + c, a\( \ne \)0 )

b. Cách giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt

Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Các hệ thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\2)\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )\\5)1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne k\pi )\\6)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2})\end{array}\)

2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

\(\begin{array}{l}\sin \alpha = \sin \left( {\alpha + k2\pi } \right)\\\cos \alpha = \cos \left( {\alpha + k2\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \tan \left( {\alpha + k\pi } \right)\\\cot \alpha = \cot \left( {\alpha + k\pi } \right)\end{array}\)

+) Góc đối nhau (\(\alpha \) và \( - \alpha \))

\(\cos ( - \alpha )\,\, = \,\,\cos \alpha \)

\(\sin ( - \alpha )\,\, = \,\, - \sin \alpha \)

\(\tan ( - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot ( - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi - \alpha \))

\(\sin (\pi - \alpha )\,\, = \,\,\sin \alpha \)

\(\cos (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \cos \alpha \)

\(\tan (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc phụ nhau(\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2} - \alpha \))

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cos \alpha \)

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\sin \alpha \)

\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cot \alpha \)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\tan \alpha \)

3. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)

4. Công thức nhân đôi, hạ bậc

a) Công thức nhân đôi

\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)

\(\begin{array}{l}\cos 2\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \,\\ = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\ = \,\,1 - 2{\sin ^2}\alpha \end{array}\)

\(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)

b) Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha \,\, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)

5. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left< {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right>\\\sin a\sin b = - \frac{1}{2}\left< {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right>\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left< {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right>\end{array}\)

6. Công thức biển đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\)

Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a. Các hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = \({m_a}\), BN = \({m_b}\), CP = \({m_c}\)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

cosB = \(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

cosC = \(\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Định lý sin

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)= 2R

(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

\({m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\);

\({m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\)

\({m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {a^2}) - {c^2}}}{4}\)

c. Các công thức tính diện tích tam giác

S = \(\frac{1}{2}\)aha = \(\frac{1}{2}\)bhb = \(\frac{1}{2}\)chc

S = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC = \(\frac{1}{2}\)bc.sinA = \(\frac{1}{2}\)ac.sinB

S = \(\frac{{abc}}{{4R}}\)

S = pr

S = \(\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \(p = \frac{1}{2}(a + b + c) \)

2. Phương trình đường thẳng

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến

a. Phương trình tham số của đường thẳng d

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + t{u_1}}\\{y = {y_0} + t{u_2}}\end{array}} \right.\) với M (\({x_0};{y_0}\))\(\in d\) và \(\vec u = ({u_1};{u_2})\) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng d

a(x – \({x_0}\)) + b(y – \({y_0}\)) = 0 hay ax + by + c = 0

(với c = – a\({x_0}\)– b\({y_0}\) và a2 + b2 \(\ne\) 0) trong đó M (\({x_0};{y_0}\)) \(\in d\) và \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với \(ab\ne 0\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (\({x_0};{y_0}\)) có hệ số góc k có dạng: y – \({y_0}\)= k (x – \({x_0}\))

c. Khoảng cách từ mội điểm M (\({x_0};{y_0}\)) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

d(M; d) = \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{x_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}\): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}\)= 0

\({\Delta _2}\): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}\)= 0

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\);

Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}{\rm{ = 0}}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}{\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\)

\({\Delta _1}\)//\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

\({\Delta _1}\)\( \equiv \)\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) (với \({a_2}\),\({b_2}\),\({c_2}\)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R

+) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

d cắt ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) R

d tiếp xúc với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn

Dạng 2: Điểm A không thuộc đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc hay song song với 1 đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a.

Xem thêm: Văn Nghị Luận Xã Hội Học Đi Đôi Với Hành Lớp 8 Hay Nhất, Nghị Luận Về Phương Pháp Học Đi Đôi Với Hành

Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một số a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) =\(\{ M/{F_1}M + {F_2}M = 2a\} \)

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = \( \pm \)a, y = \( \pm \)b

18/04/2022

Công thức toán lớp 10

Tổng hợp kiến thức cần nắm vững, các dạng bài tập và câu hỏi có khả năng xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học 10 sắp tới