BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở các kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài này là ôn tập, khối hệ thống hóa và cải thiện các kiến thức và kỹ năng về hàm số một trở nên số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số.

Bạn đang xem: Công thức tính lim toán cao cấp

Bạn sẽ xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

hướng dẫn học • Đây là bài xích học nhằm mục đích ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học sẽ học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các kim chỉ nan về hàm số….

*
bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng mục tiêu • đọc được định nghĩa hàm số, giới hạn, sựBạn bắt buộc học cùng làm bài bác tập của bài nàytrong nhì tuần, từng tuần khoảng 3 mang đến 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng ứng dụng toán để đo lường và thống kê với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài bác này là ôn tập, hệ thốnghóa và cải thiện các kỹ năng và kiến thức về hàm số một đổi mới số: Giới hạn, tính thường xuyên củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm mục đích ôn tập và hệ thống hóa lại những kiến thức toán học đã học trong chương trình rộng lớn nên bạn phải đọc kỹ lại các triết lý về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn phải làm bài bác tập càng nhiều càng xuất sắc để củng vắt và cải thiện kiến thức. 1 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một trở nên số1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến chuyển số mang đến X là tập thích hợp khác rỗng của R . Ta hotline ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một thay đổi số trên tập hòa hợp X , trong những số ấy x là biến chuyển số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc vào hay hàm số của x . Tập phù hợp X điện thoại tư vấn là miền khẳng định của hàm số f . Tập vừa lòng f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X hotline là miền quý giá của f giả dụ hàm số một đổi mới số mang lại trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta đọc miền khẳng định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của thay đổi số x tạo cho biểu thức bao gồm nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì vậy miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là . Tiện lợi thấy rằng miền cực hiếm của hàm y là . Miền xác minh của một hàm số có thể gồm nhiều tập bé rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một phép tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số rất có thể được xác minh bởi nhiều công thức khác biệt tùy nằm trong vào quý giá của biến. Ví dụ như 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp những điểm tránh rạc, cũng rất có thể gồm một vài cung tức thời Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x lúc 0 1 ⎩2 Hình 1.1 việc vẽ demo đồ thị của hàm số f cùng với miền khẳng định là một khoảng chừng số thực hay được xác định theo trình từ như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,…, x n tự miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng sát nhau càng tốt). • Tính những giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),…, y n = f (x n ) • xác minh các điểm • M1 = (x1 , y1 ),…, M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác minh nói trên ta có hình ảnh phác họa của vật dụng thị hàm số. Bí quyết vẽ như bên trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của thiết bị thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc vào của giá trị của hàm số và biến chuyển số. Chú ý vào đồ thị rất có thể dễ dàng quan tiếp giáp xu hướng đổi khác của cực hiếm hàm số lúc biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) xác định trong khoảng chừng (a, b) • Được hotline là đối kháng điệu tăng trong vòng (a, b) nếu với tất cả x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên (Nếu điều kiện trên vẫn đúng lúc bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) bên trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là đơn điệu bên trên (a, b) giả dụ nó chỉ 1-1 điệu tăng hoặc chỉ đối chọi điệu giảm trong vòng này. Đồ thị của hàm số tăng là một trong đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số sút là mặt đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái lịch sự phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác minh trên một tập hòa hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhấn trục Oy làm trục đối xứng, còn vật dụng thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm trung tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được điện thoại tư vấn là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) giả dụ tồn tại số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± phường ∈ D và f (x + p) = f (x). Số p. Gọi là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Nếu trong những số p nói trên, tồn tại một trong những dương nhỏ tuổi nhất – ký kết hiệu do T – thì T được gọi là chu kỳ luân hồi cơ bản của f . Lấy một ví dụ 5: các hàm sin x, cos x hồ hết tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx hầu hết tuần trả với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 không chỉ có thế các chu kỳ luân hồi nói trên hầu hết là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử sống thọ số dương T bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Hàm số g đổi mới x thành y theo nguyên tắc trên hotline là (hàm số) đúng theo của hai hàm f và ϕ . Ký kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong phương pháp ký hiệu trên, hàm nào che khuất lại có ảnh hưởng tác động trước đến đổi thay x ). Ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm thích hợp của hai hàm y = u 5 với u = sin x . Biện pháp nói sau cũng khá được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm đúng theo của nhị hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) bao gồm miền xác minh X , miền giá trị Y = f (X) . So với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 tất cả nghiệm độc nhất trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = y là một trong những hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , cam kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dãi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ như 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) gồm hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • các hàm lượng giác thân quen thuộc đều phải sở hữu hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ kia là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • bởi vì thường ký hiệu x nhằm chỉ biến độc lập và y nhằm chỉ biến nhờ vào nên khi trình diễn hàm ngược thay do x = f −1 (y) tất cả viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhì hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua mặt đường phân giác máy nhất. Thiệt vậy, call (C) cùng (C’) theo lần lượt là đồ gia dụng thị của hai hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ” = (y, x) ∈ (C “) Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cung cấp cơ phiên bản • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền khẳng định (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . O trường hợp α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 ví như α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu như o p p chẵn cùng R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 trường hợp α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch trở thành nếu 0 1 với nghịch biến nếu o 0 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : có MXĐ là R ,o MGT ; cho khớp ứng mỗi số thực x cùng với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng 2π . Y = tgx : gồm MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác minh các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) với trục tung là mặt đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bạn dạng π . Y = cotgx: có MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là vấn đề biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là đường thẳng gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm con số giác 9 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : gồm MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được ra đời từ các hàm số sơ cung cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số trong những hữu hạn những phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và những phép toán lấy hàm hợp. Lấy ví dụ như 8: các hàm số sau những là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • hàm vị giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một trang bị tự, hay được khắc số bằng các số trường đoản cú nhiên. Để cho 1 dãy số, tín đồ ta rất có thể dùng các phương pháp như liệt kê, công thức tổng quát và bí quyết truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo như đúng thứ từ (nếu ko viết được không còn thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy xem thêm tục). • cách làm tổng quát: chỉ rõ cách xác minh một số hạng bất kỳ chỉ cần phải biết thứ trường đoản cú của số hạng đó trong dãy. • bí quyết truy hồi: chứng minh cách xác định một số hạng khi biết những số hạng tức thì trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và phù hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách màn biểu diễn bằng quy hấp thụ không trả toàn. Còn hai biện pháp kia bảo đảm có thể tìm kiếm được số hạng với lắp thêm tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ như 9: hàng Fibonacci với 3 cách trình diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • bí quyết tổng quát: Số hạng đồ vật n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • cách làm truy hồi: nhì số hạng đầu tiên đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng ngay thức thì trước. Công thức tổng quát của hàng số là giải pháp biểu diễn cực tốt để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Dựa vào nó, dãy số được tư tưởng một cách hết sức dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: dãy số là một trong những ánh xạ (hàm số) tất cả miền xác minh là (hoặc một tập con các số tự nhiên thường xuyên của ) cùng lấy cực hiếm trong tập các số thực R . Ta thường cam kết hiệu dãy số bởi x n n =1 xuất xắc gọn rộng x n . ∞ 11 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,…, ,…⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,…, (−1) n ,… n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,…, n 2 ,… 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,…, (D) ,…⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy x n gọi là • hàng tăng trường hợp x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy solo điệu ví như nó là hàng tăng hoặc dãy giảm.

Xem thêm: Sách Giải Sách Vật Lý 10 Hay Nhất, Giải Bài Tập Vật Lý 10 (Cơ Bản)

• Bị ngăn trên nếu tồn trên số M làm thế nào cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn dưới nếu như tồn tại số m làm sao để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị ngăn trên, vừa bị ngăn dưới. Trong ví dụ như 10 • dãy (A) là hàng số giảm, bị chặn dưới vì chưng 0 với bị ngăn trên vì 1. • dãy (B) không solo điệu, bị ngăn dưới vì chưng −1 và bị chặn trên vị 1. • dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới vày 1 không trở nên chặn bên trên nên không bị chặn. • hàng (D) là dãy tăng, bị ngăn dưới vày 0 cùng bị chặn trên bởi 1.1.2.2. Số lượng giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,…, n ,…⎬ . Khoảng cách giữa x n với 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: mang lại trước một trong những ε > 0 nhỏ bé tùy ý thì sẽ kiếm được một số N làm sao để cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n với 0 sẽ nhỏ hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 mang lại trước (bé tùy ý), tồn tại số thoải mái và tự nhiên n 0 sao để cho với các n > n 0 thì x n − a bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . N →∞ dãy x n được điện thoại tư vấn là dãy hội tụ nếu mãi mãi số a để lim x n = a . Vào trường phù hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong khái niệm trên, số n 0 dựa vào vào ε phải ta viết n 0 = n 0 (ε) . Lấy ví dụ như 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thiệt vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 ngẫu nhiên chỉ yêu cầu chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì lúc n > n 0 tất cả ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 đến trước (lớn tùy ý), trường tồn số thoải mái và tự nhiên n 0 thế nào cho với số đông n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ và là hàng phân kỳ. N →∞ Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô thuộc nói chung, ta có thể phát biểu cụ thể hơn về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn chỉnh tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính duy nhất của số lượng giới hạn Định lý: giả dụ một hàng có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy chính là dãy bị chặn . • giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên tắc giới hạn kẹp giả dụ có ba dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a rất có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass dãy số tăng với bị chặn trên (hoặc sút và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.2.4. Các định lý về số lượng giới hạn của hàng số mang lại x n , y n là các dãy có số lượng giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa bao gồm thể chứng minh các hiệu quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chăm chú rằng khi cả x n , y n có các giới hạn vô cực thì nhìn bao quát không thực hiện 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các hiệu quả nói trên. Những dạng vô định thường chạm mặt là 0∞ buộc phải dùng những phép biến đổi để khử dạng vô định. Lấy một ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Số lượng giới hạn và sự liên tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) mang sử hàm số f (x) khẳng định ở lân cận điểm x 0 (có thể trừ trên x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: với mọi số ε > 0 mang lại trước, hầu như tồn tại một số δ > 0 làm sao cho khi: x − x 0 x 0 tuyệt x bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • quy trình x tiến cho x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với đk x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản dễ dàng hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến mang đến x 0 về phía bên trái, có nghĩa là x → x 0 với đk x x 0 • giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: trả sử ϕ( x) cùng f (u) thỏa mãn nhu cầu các điều kiện: lim ϕ(x) = b cùng lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • vĩnh cửu số δ > 0 làm thế nào cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) với x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: nếu như hàm số sơ cấp f (x) xác minh trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: ví như tồn trên số δ > 0 làm thế nào để cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , vị lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: nếu như lim f (x) = 0 cùng g(x) là một hàm số bị ngăn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 vày lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Khôn xiết lớn, vô cùng bé1.3.3.1. Có mang • Đại lượng f(x) gọi là 1 vô cùng nhỏ xíu (viết tắt là VCB) lúc x → a nếu như lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a có thể là hữu hạn tuyệt vô cùng. Từ bỏ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A khi x → a thì f (x) = A + α(x) trong đó α(x) là 1 trong VCB lúc x → a • Đại lượng F(x) gọi là một trong vô cùng bự (viết tắt là VCL) khi x → a giả dụ lim F(x) = +∞ x →a16 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 • có thể dễ dàng thấy rằng ví như f(x) là một trong những VCB khác không lúc x → a vậy nên VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là 1 trong những VCL khác không khi x → a thì là 1 trong những VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù bé dại bao nhiêu cũng không là 1 VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn từng nào cũng không thể là một VCL khi x → a1.3.3.2. đặc thù • nếu f1 (x), f 2 (x) là hai ngân hàng ngoại thương khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những ngân hàng ngoại thương khi x → a . • giả dụ f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu với là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là 1 trong VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là một trong VCL khi x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé • Bậc của những VCB Định nghĩa: mang sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là ngân hàng ngoại thương vietcombank bậc cao hơn nữa β( x) . Nếu như lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương bậc thấp rộng β(x) . Ví như lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) cùng β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank cùng bậc. Giả dụ lim o x → a β(x) α(x) ko tồn tại, ta nói rằng ko thể so sánh hai vcb α(x) cùng Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Lấy ví dụ như 14: 1 − cos x và 2x đầy đủ là những ngân hàng ngoại thương vcb khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 bắt buộc 1 − cos x là vcb bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin và 2x là những ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên 1 1 phải x sin cùng 2x là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → 0 không nhưng lại không lâu dài lim sin x x x →0 đối chiếu được với nhau. • VCB tương tự Định nghĩa: Hai ngân hàng ngoại thương vcb α ( x ) và β ( x ) không giống 0 khi x → a điện thoại tư vấn là tương tự với nhau trường hợp α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) thừa nhận xét: 2VCB tương tự là ngôi trường hợp quan trọng đặc biệt của 2 ngân hàng ngoại thương vcb cùng bậc. Định lý: ví như α(x) với β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) lúc x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, vì chưng α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng nhỏ nhắn tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong những hàm số xác định trong khoảng tầm (a, b), x 0 là 1 điểm nằm trong (a, b) .Ta bảo rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 trường hợp hàm số f không liên tục tại x 0 , ta nói rằng nó đứt quãng tại x 0 . Nếu như đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) hoàn toàn có thể viết là: lim = 0 tốt lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói cách khác rằng f liên tiếp tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 lấy ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tiếp tại đều x 0 ∈ R . Thiệt vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như như vậy, gồm thể minh chứng được rằng phần đa hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại hầu như điểm thuộc miền khẳng định của nó.18 bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên Định nghĩa: f(x) được điện thoại tư vấn là: liên tục trong khoảng tầm (a, b) giả dụ nó liên tục tại phần lớn điểm của khoảng tầm đó. Liên tiếp trên đoạn , nếu nó tiếp tục tại phần đông điểm của khoảng tầm (a, b) , đồng thời thường xuyên phải trên a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tiếp trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm liên tục Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương cùng từ quan niệm của hàm số liên tiếp tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: giả dụ f và g là nhì hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) tiếp tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • thường xuyên tại x 0 nếu như g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) thường xuyên tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số vừa lòng y = (f ϕ)(x) = f thường xuyên tại x 0 . Hội chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vị ϕ tiếp tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) thường xuyên tại u 0 . Vì chưng đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. đặc điểm của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không hội chứng minh) nêu ra những tính chất cơ phiên bản của hàm số liên tục. Định lý: nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó bị ngăn trên đoạn đó, tức là tồn tại nhì số m cùng M làm thế nào để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: ví như hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn thì nó đạt giá trị nhỏ tuổi nhất m với giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại nhì điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về giá trị trung gian): nếu hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn ; m và M là các giá trị bé dại nhất và lớn số 1 trên đoạn đó thì với tất cả số μ nằm giữa m cùng M luôn luôn tồn tại ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ .

Hệ quả: nếu như f(x) liên tục trên , f(a)f(b) bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài này chúng ta nghiên cứu giúp ba sự việc là:• Những vụ việc cơ phiên bản về hàm số một đổi thay số• hàng số và số lượng giới hạn của dãy số• số lượng giới hạn của hàm sốPhần trước tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ phiên bản về hàm số một biến chuyển số, một trong những tính chấtcủa hàm số như tính 1-1 điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tò mò cáckhái niệm về dãy số và số lượng giới hạn của dãy số, các định lý vận dụng để tính giới hạn của dãy số.Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số tiếp tục và những khái niệm hết sức lớn, vôcùng bé.20