Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không khí Oxyz cùng hướng dẫn áp dụng công thức giải một vài bài tập trắc nghiệm liên quan.

Bạn đang xem: Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCho hai tuyến đường thẳng chéo cánh nhau $d_1$ với $d_2$ bao gồm phương trình: $d_1:left{ eginarray*20lx = x_1 + a_1t\y = y_1 + b_1t\z = z_1 + c_1tendarray ight.$ và $d_2:left{ eginarray*20lx = x_2 + a_2t’\y = y_2 + b_2t’\z = z_2 + c_2t’endarray ight.$ $left( t;t’ in R ight).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo cánh nhau $d_1$ và $d_2$ theo một trong những cách sau:Cách 1:

*

+ cách 1: xác định các vectơ chỉ phương $vec a_1$ của $d_1$, $vec a_2$ của $d_2.$+ cách 2: xác minh các điểm $M_1 in d_1$, $M_2 in d_2.$+ Bước 3: lúc đó $dleft( d_1;d_2 ight)$ $ = frac left< vec a_1,vec a_2 ight> ight.$Cách 2:

*

+ bước 1: call $H in d_1$, $K in d_2$ (lúc này $H$, $K$ gồm toạ độ phụ thuộc vào ẩn $t$, $t’$).+ cách 2: khẳng định $H$, $K$ dựa vào:$left{ eginarray*20lHK ot d_1\HK ot d_2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec a_1 = 0\overrightarrow HK .vec a_2 = 0endarray ight..$+ bước 3: cơ hội đó: $dleft( d_1;d_2 ight) = HK.$Nhận xét: trong tương đối nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình con đường vuông góc chung thì nên cần sử dụng giải pháp 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNGVí dụ 1: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai mặt đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).Đường trực tiếp $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = sqrt 3 .$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleftleft = sqrt 3 .$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 2: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, call $M$, $N$ là các điểm bất kể lần lượt trực thuộc $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ với $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính độ nhiều năm ngắn tuyệt nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 3 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau. Độ lâu năm ngắn độc nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleft left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = sqrt 3 $ $ Rightarrow MN_min = sqrt 3 .$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tuổi nhất cùng đồng thời xúc tiếp với hai tuyến phố thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = 3.$B. $left( x + frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + left( z + frac32 ight)^2 = frac34.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo cánh nhau. Hotline $HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Rightarrow $ mặt cầu nên tìm là mặt mong có 2 lần bán kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ với $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow HK = sqrt 3 .$Mặt cầu đề nghị tìm gồm tâm $Ileft( frac32;frac12;frac32 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = fracsqrt 3 2$ bao gồm phương trình: $(S):left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $vec u(1;a;b)$ $(a;b in R)$ là một trong những vectơ chỉ phương của mặt đường vuông góc thông thường của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ với $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính tổng $S = a + b.$A. $S=2.$B. $S=-2.$C. $S=4.$D. $S=-4.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo cánh nhau.Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1).$Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng $moverrightarrow HK $ $(m in R,m e 0)$, từ giả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Cách 2:Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Do $vec u(1;a;b)$ là một trong vectơ chỉ phương của con đường vuông góc thông thường của hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ suy ra:$left{ eginarray*20lvec u.vec u_1 = 0\vec u.vec u_2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l – 1 + 2a – b = 0\2 – a – b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 1\b = 1endarray ight.$ $ Rightarrow vec u = (1;1;1).$Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc thông thường của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz + 1 – 2.$D. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau.Đường trực tiếp $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;1; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4;2;1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 1 – t\y = t\z = 1 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 2 + 4k\y = – 1 + 2k\z = – 1 + kendarray ight..$Gọi $H(1 – t;t;1 – t) in Delta _1$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1; – 1; – 2).$Đường vuông góc chung yêu cầu tìm là mặt đường thẳng qua $H(1;0;1)$ và tất cả một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1; – 1; – 2)$, tất cả phương trình: $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ nhiều năm đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc phổ biến của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = 3.$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = fracleft left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = 3.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình con đường vuông góc phổ biến của hai tuyến đường thẳng: $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$C. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz + 12.$D. $fracx – 11 = fracy – 22 = fracz – 22.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau.Đường trực tiếp $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2).$Đường vuông góc chung đề nghị tìm là đường thẳng qua $H(2;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1;2;2)$, tất cả phương trình: $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 8: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $M$, $N$ là những điểm bất kỳ lần lượt nằm trong $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ cùng $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$ Tính độ dài ngắn độc nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $3.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo cánh nhau. Độ nhiều năm ngắn độc nhất vô nhị của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac = 3$ $ Rightarrow MN_min = 3.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt ước có phân phối kính nhỏ tuổi nhất và đồng thời xúc tiếp với hai tuyến phố thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$B. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$C. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac92.$D. $left( x + frac52 ight)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo cánh nhau. điện thoại tư vấn $HK$ là đoạn vuông góc bình thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$, suy ra mặt cầu phải tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta bao gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc bình thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow HK = 3.$Mặt cầu đề xuất tìm bao gồm tâm $Ileft( frac52;2;2 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = frac32$ có phương trình: $(S):left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$Chọn lời giải B.

Xem thêm: Chiều Cao Thúy Ngân - Diễn Viên Thúy Ngân Khai Khống Chiều Cao

Ví dụ 10: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai đường thẳng $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 41$ và trục $Oy.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta $ và $Oy$ chéo nhau.Đường trực tiếp $Delta $ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_Delta = (2;1; – 1).$Đường thẳng đựng trục $Oy$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u = (0;1;0).$Chọn $O(0;0;0) in Oy$, $A(1;0; – 4) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow OA = (1;0; – 4).$Lúc đó: $d = frac overrightarrow OA .left< vec u,vec u_Delta ight> ightleft = frac7sqrt 5 5.$Chọn đáp án C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình con đường vuông góc phổ biến của hai tuyến phố thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, Delta_2: fracx-12=fracy-1=fracz-1-1A. $fracx – 11 = fracy – 12 = fracz – 11.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx + 11 = fracy1 = fracz + 11.$D. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 11.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai con đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là những điểm bất cứ lần lượt trực thuộc $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$ và $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$ Tính độ nhiều năm ngắn độc nhất vô nhị của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 6 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Câu 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có chào bán kính bé dại nhất cùng đồng thời tiếp xúc với hai tuyến đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac34.$B. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Câu 5: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, call $M$, $N$ là các điểm bất cứ lần lượt thuộc $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 4 – 1$ và trục $Oy.$ Tính độ lâu năm ngắn duy nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $frac7sqrt 5 5.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac2sqrt 5 5.$

Câu 6: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai con đường thẳng $Delta :fracx + 11 = fracy – 2 = fracz + 22$ và trục $Oz.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = frac2sqrt 5 5.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ cùng với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ với $BD.$A. $d = frac2sqrt 11 11.$B. $d = fracsqrt 51 51.$C. $d = frac8sqrt 51 51.$D. $d = frac2sqrt 15 11.$

Câu 8: mang lại hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình chữ nhật cùng với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy với $SA=2.$ gọi $M$, $N$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai tuyến phố thẳng $CM$ cùng $AN.$A. $d = frac2sqrt 6 3.$B. $d = fracsqrt 6 3.$C. $d = fracsqrt 6 6.$D. $d = fracsqrt 2 2.$

Câu 9: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường trực tiếp $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ cùng mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, call $M$, $N$ là những điểm bất kỳ lần lượt ở trong $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ cùng mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ tuổi nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$