Tính diện tích hình phẳng là 1 trong những ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích s hình phẳng là gì? những dạng bài xích tập tìm diện tích hình phẳng? phương pháp tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong nội dung bài viết dưới trên đây magdalenarybarikova.com sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng và kiến thức về chủ đề này nhé!


Mục lục

2 bí quyết tính diện tích hình phẳng cơ bản3 bí quyết tính diện tích hình phẳng nâng cao3.2 diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong cuộc sống thực tiễn tương tự như khoa học kĩ thuật thì họ cần bắt buộc tính diện tích của rất nhiều hình phẳng phức tạp mà những công thức thông thường không thể thống kê giám sát được. Ví dụ: diện tích của mặt hồ nước tự nhiên, thiết diện cắt theo đường ngang của một loại sông… chính vì như vậy ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của không ít hình phức tạp đó.

Bạn đang xem: Công thức tính diện tích hình phẳng


Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số và những trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên đoạn () thì diện tích s (S) của hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị hàm số ( y=x^3 -x ) , mặt đường thẳng ( x=2 ), trục tung và trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung bao gồm phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên vận dụng công thức nêu trên ta tất cả :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta có :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức bao quát tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị 

Công thức tìm diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) thường xuyên trên ( ) và hai tuyến đường thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi thiết bị thị nhị hàm số ( y= x^2+2 ) với ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta sẽ hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi vật dụng thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai tuyến đường thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng công thức trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán đặt ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được số lượng giới hạn bởi vật thị tía hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các bước làm như sau:

Bước 2: diện tích s hình phẳng (S) sẽ được tính theo cách làm :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình tra cứu ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình kiếm tìm ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi tía hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta tìm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy vận dụng công thức bên trên ta có :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị số lượng giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Khi đó diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi đồ dùng thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là nhì nghiệm của Parabol

Bằng cách đổi khác đơn giản thực hiện định lí Vi-ét, từ phương pháp trên ta sẽ có :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) tuyệt (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này hay được áp dụng trong số bài toán trắc nghiệm yêu cầu giám sát và đo lường nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hản bởi Parabol ( y=x^2-5x +6 ) và trục hoành

Cách giải:

Áp dụng bí quyết trên với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta cần vẽ hình sơ cỗ để nhận diện được hình phẳng nên tính diện tích rồi tiếp nối sử dụng những công thức cơ phiên bản nêu bên trên để giám sát và đo lường thích hợp.

Chú ý: với dạng bài xích này khi buộc phải tính tích phân họ sẽ buộc phải sử dụng cách thức đổi biến đổi số nhằm tính được tích phân yêu cầu tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và mặt đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và con đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) cùng với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) đề nghị ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của đường tròn với trục hoành là vấn đề (x= 2sqrt2) và (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia làm hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô màu sắc vàng

( S_2 ) là phần tô color đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai tuyến phố thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được giới hạn bởi con đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến phố thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua những ví dụ trên ta phân biệt công thức tính diện tích tổng quát tháo (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được thực hiện ở phần lớn các bài bác toán. Bởi vậy đây là một công thức cơ bạn dạng quan trọng mà bọn họ cần ghi nhớ.

Bài viết trên trên đây của magdalenarybarikova.com đã khiến cho bạn tổng hợp triết lý về các công thức diện tích s hình phẳng bằng tích phân tương tự như một số dạng bài bác tập tính diện tích hình phẳng.

Xem thêm: Đi Trekking Là Gì? Điểm Khác Nhau Giữa Leo Núi, Hiking Và Trekking

Mong muốn những kỹ năng và kiến thức trong nội dung bài viết sẽ mang lại lợi ích cho chúng ta trong quy trình học tập. Chúc bạn luôn luôn học tốt!