Ln là hàm ngược của hàm mũ
Hàm logarit tự nhiên ln (x) là hàm ngược của hàm mũ e x .
Bạn đang xem: Công thức ln
Đối với x/ 0,
f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x
Hoặc
f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x
Các quy tắc và tính chất lôgarit tự nhiên
| Quy tắc nhân | ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y ) | ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7) |
| Quy tắc thương số | ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y ) | ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7) |
| Quy tắc quyền lực | ln ( x y ) = y ∙ ln ( x ) | ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2) |
| đạo hàm ln | f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f " ( x ) = 1 / x | |
| tích phân ln | ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C | |
| ln của số âm | ln ( x ) không xác định khi x ≤ 0 | |
| bằng 0 | ln (0) là không xác định | |
| Trong một | ln (1) = 0 | |
| trong vô cực | lim ln ( x ) = ∞, khi x → ∞ | |
| Danh tính của Euler | ln (-1) = i π |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Ví dụ:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Quy tắc thương số lôgaritLogarit của phép chia x và y là hiệu của logarit của x và logarit của y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Ví dụ:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Quy tắc lũy thừa lôgaritLôgarit của x được nâng lên thành lũy thừa của y là y nhân với lôgarit của x.
Xem thêm: Sử Dụng Một Số Biện Pháp Nghệ Thuật Trong Văn Bản Thuyết Minh
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Ví dụ:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Đạo hàm của lôgarit tự nhiênĐạo hàm của hàm logarit tự nhiên là hàm nghịch biến.
Khi nào
f ( x ) = ln ( x )
Đạo hàm của f (x) là:
f " ( x ) = 1 / x
Tích phân của logarit tự nhiênTích phân của hàm logarit tự nhiên được cho bởi:
Khi nào
f ( x ) = ln ( x )
Tích phân của f (x) là:
∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
Ln của 0Lôgarit tự nhiên của 0 là không xác định:
ln (0) là không xác định
Giới hạn gần 0 của lôgarit tự nhiên của x, khi x tiếp cận 0, là trừ vô cùng:
Ln của 1Lôgarit tự nhiên của một bằng 0:
ln (1) = 0
Ln của vô cùngGiới hạn của lôgarit tự nhiên của vô cùng, khi x tiến tới vô cùng bằng vô cùng:
lim ln ( x ) = ∞, khi x → ∞
Lôgarit phức tạp
Đối với số phức z:
z = re iθ = x + iy
Lôgarit phức sẽ là (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Đồ thị của ln (x)
ln (x) không được xác định cho các giá trị thực không dương của x:
Bảng logarit tự nhiên
| 0 | chưa xác định |
| 0 + | - ∞ |
| 0,0001 | -9.210340 |
| 0,001 | -6.907755 |
| 0,01 | -4.605170 |
| 0,1 | -2,302585 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0,693147 |
| e ≈ 2,7183 | 1 |
| 3 | 1,098612 |
| 4 | 1.386294 |
| 5 | 1.609438 |
| 6 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3,401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3,912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6,551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |