Bất đẳng thức Côsi là trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên đúng là bất đẳng thức thân trung bình cộng và vừa đủ nhân, không ít người dân gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Vì nhà toán học fan Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), bạn đã đưa ra một bí quyết chừng mình rực rỡ nên không ít người dân hay call là bất đẳng thức Cauchy.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, bọn họ quan trung tâm đến các trường vừa lòng riêng của bất đẳng thức Cauchy.


Mục lục ẩn
1. Các dạng màn biểu diễn của bất đẳng thức Cosi
a. Dạng tổng thể bất đẳng thức cosi
b) các bất đẳng thức côsi đặc biệt quan trọng
c) một số trong những bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy
d) chú ý khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM
2. Các dạng bài bác tập
Dạng 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Dạng 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp
Dạng 3: kỹ năng tham số hóa
Dạng 4: kỹ năng bất đẳng thức côsi ngược dấu

1. Những dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng tổng thể bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

*


Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực dương ta có:

*

b) những bất đẳng thức côsi sệt biệt

*


c) một vài bất đẳng thức được suy ra tự bất đẳng thức Cauchy

*

d) chú ý khi thực hiện bất đẳng thức AM – GM

Khi vận dụng bất đẳng thức cô đê mê thì các số bắt buộc là gần như số ko âmBất đẳng thức côsi thường được vận dụng khi vào BĐT cần chứng tỏ có tổng cùng tíchĐiều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhauBất đẳng thức côsi còn có hiệ tượng khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:


$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$

Đối với ba số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$

2. Những dạng bài bác tập

Dạng 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ: mang lại a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$

Lời giải

*

Dạng 2: kỹ năng tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng minh BĐT ta thường xuyên phải biến hóa (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để sinh sản biểu thức hoàn toàn có thể giản mong được sau khoản thời gian áp dụng BĐT côsi.Khi chạm chán BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng tỏ x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều cần chứng minh.Khi tách bóc và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc đảm bảo an toàn dấu bởi xảy ra(thường lốt bằng xảy ra khi những biến đều nhau hoặc trên biên).

Ví dụ: cho a, b, c là số dương vừa lòng a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)


Lời giải

*

Dạng 3: kĩ thuật tham số hóa

Nhiều lúc không dự kiến được dấu bởi xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) họ cần chuyển tham số vào rồi chọn sau thế nào cho dấu bởi xảy ra.

Ví dụ: đến a, b, c là số dương vừa lòng 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm giá bán trị bé dại nhất của A = a2 + b2 + c3.

Xem thêm: Người Tuổi Con Gà Sinh Năm Mấy, Người Tuổi Dậu Sinh Năm Bao Nhiêu

Phân tích

*

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có

*

Dạng 4: kỹ năng bất đẳng thức côsi ngược dấu

Ví dụ: mang đến a, b, c là các số thực ko âm thỏa mãn nhu cầu a2 + b2 + c2 = 1.