A. CÔNG THỨCNếu $u(x), v(x)$ là nhì hàm số bao gồm đạo hàm thường xuyên trên đoạn $$ thì :$intlimits_a^bu(x)v"(x)dx = left< u(x).v(x) ight>ig|_a^b - intlimits_a^bv(x)u"(x)dx$Tổng quát mắng hơn đến nguyên hàm$intlimits u(x)v"(x)dx = left< u(x).v(x) ight> - intlimits v(x)u"(x)dx$Viết gọn là :$intlimits_a^budv=left (u.v ight ) ig|_a^b-intlimits_a^bvdu$ và$intlimits udv=left (u.v ight ) -intlimits vdu$B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶPDạng $1.$$intlimits p(x)left< eginmatrixsin f(x)\ cos f(x)\ an f(x)\e^f(x) endmatrix ight>dx$Đặt $u=p(x)$ và $left< eginmatrixsin f(x)\ cos f(x)\ an f(x)\e^f(x) endmatrix ight>dx=dv$ trong số ấy $p(x)$ thường là đa thức, hoàn toàn có thể là phân thức, hàm vô tỷ của $x$.

Bạn đang xem: Cách tính tích phân từng phần

Dạng $2.$$intlimits p(x).ln f(x)dx$Đặt $u=ln f(x)$ và $p(x) dx = dv$Dạng $3.$$intlimits e^f(x)left< eginmatrixsin g(x)\ cos g(x)endmatrix ight>dx$Đặt $u=e^f(x)$ hoặc $u= left< eginmatrixsin g(x)\ cos g(x)endmatrix ight>$C. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ $1.$Tính $I=intlimits xcos xdx$Lời giải :Đặt $egincasesu=x\ dv=cos x dx endcasesRightarrow egincasesdu=dx \ v=sin x endcases$.Khi kia ta có :$I=xsin x - intlimits sin x dx=oxedxsin x + cos x +C$Trong đó $C$ là hằng số.Ví dụ $2.$Tính $I=intlimits x^3cos xdx$Lời giải :Đặt $egincasesu=x^3\ dv=cos x dx endcasesRightarrow egincasesdu=3x^2dx \ v=sin x endcases$.Khi đó ta gồm :$I=x^3sin x - 3intlimits x^2sin x dx$Đặt $egincasesu=x^2\ dv=sin x dx endcasesRightarrow egincasesdu=2xdx \ v=-cos x endcases$.Khi đó ta bao gồm :$I=x^3sin x - 3left< -x^2cos x+2intlimits xcos x dx ight>$Đặt $egincasesu=x\ dv=cos x dx endcasesRightarrow egincasesdu=dx \ v=sin x endcases$.Khi đó ta gồm :$I=x^3sin x+3x^2cos x -6left< xsin x - intlimits sin x dx ight>=oxedx^3sin x + 3x^2cos x - 6left ( xsin x+cos x ight )+C$.Trong đó $C$ là hằng số.Ví dụ $3.$Tính $intlimits_1^ex^3 ln^2 x dx$Lời giải :Đặt $egincasesu=ln^2 x \ dv=x^3dx endcases Rightarrow egincasesdu=frac2 ln xx dx\ v=frac14x^4 endcases$.Khi kia ta bao gồm :$I=frac14x^4ln^2 x displaystyle ig|_1^e- frac12intlimits_1^ex^3 ln x dx=frac14e^4- frac12intlimits_1^ex^3 ln x dx$Đặt $egincasesu=ln x \ dv=x^3dx endcases Rightarrow egincasesdu=frac1x dx\ v=frac14x^4 endcases$.Khi đó ta tất cả :$I=frac14e^4- frac12left< _1^e- frac18intlimits_1^ex^3 dx ight>$ $=frac14e^4-left< _1^e ight>$ $=frac14e^4-frac3e^4+132$ $=oxed displaystyle frac5e^4-132$Ví dụ $4.$Tính $intlimits_1^2 displaystyle frac2xln x dx(x^2+1)^2 $Lời giải :Đặt $egincasesu=ln x \ dv= displaystyle frac2x dx(x^2+1)^2=(x^2+1)^-1d(x^2+1) endcases Rightarrow egincasesdu=frac1x dx\ v=frac-1x^2+1 endcases$.Khi đó ta bao gồm :$I=frac-ln xx^2+1 displaystyle ig|_1^2+intlimits_1^2frac1x(x^2+1) dx=frac-ln25 +I_1$Trong đó, $I_1= intlimits_1^2frac1x(x^2+1) dx=intlimits_1^2fracxx^2(x^2+1) dx= frac12intlimits_1^2fracd(x^2)x^2(x^2+1)$ $I_1=frac12intlimits_a^bleft ( frac1x^2-frac1x^2+1 ight )d(x^2)=frac12ln fracx^2x^2+1displaystyle ig|_1^2=frac12ln frac85$.Vậy $I= oxed displaystyle frac12ln frac85-fracln25$.Ví dụ $5.$Tính $I=intlimits displaystyle e^-2xcos 3x dx $Lời giải :Đặt $egincasesu=e^-2x \ dv= displaystylecos 3x dx endcases Rightarrow egincasesdu=-2e^-2x\ v=frac13sin 3x endcases$.Khi kia ta tất cả :$I=frac13e^-2xsin 3x+frac23intlimits e^-2xsin3x dx$Đặt$egincasesu=e^-2x \ dv= displaystylesin 3x dx endcases Rightarrow egincasesdu=-2e^-2x\ v=-frac13cos 3x endcases$.Khi đó ta có :$I=frac13e^-2xsin 3x+frac23left< -frac13e^-2xcos 3x-frac23intlimits e^-2xcos3x dx ight>$ $=frac19e^-2xleft (3sin 3x - 2cos3x ight )-frac49intlimits displaystyle e^-2xcos 3x dx$ $=frac19e^-2xleft (3sin 3x - 2cos3x ight )-frac49I$$Rightarrow frac139I=frac19e^-2xleft (3sin 3x - 2cos3x ight )$Vậy $I=oxed displaystylefrac113e^-2xleft (3sin 3x - 2cos3x ight )+C$Trong đó $C$ là hằng số..D. CÁC BÀI THI ĐẠI HỌCVí dụ $6.$ (Đại học tập Khối $A-2012$)Tính $I=intlimits_1^3displaystyle frac1+ ln (x+1)x^2dx$Lời giải :Đặt $egincasesu=1+ ln (x+1) \ dv= displaystyle fracdxx^2 endcases Rightarrow egincasesdu=frac1x+1 dx\ v=frac-1x endcases$.Khi kia ta gồm :$I=-frac1+ ln (x+1)x displaystyle ig|_1^3+intlimits_1^3frac1x(x+1) dx=frac2+ln23 +I_1$Trong đó, $I_1= intlimits_1^3frac1x(x+1) dx=intlimits_1^3left ( frac1x-frac1x+1 ight )dx=lnleft| fracxx+1 ight| displaystyle ig|_1^3=ln 3 - ln 2$. Vậy $I= oxed displaystyle frac23+ln 3-frac23ln2$.Ví dụ $7.$ (Đại học tập Khối $D-2012$)Tính $I=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle x(1+sin 2x)dx$Lời giải :$I=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle xdx+intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle xsin 2xdx=fracpi^232+intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle xsin 2xdx$Đặt $egincasesu=x \ dv= sin 2x dx endcases Rightarrow egincasesdu=dx\ v=-frac12cos2x endcases$.Khi kia ta bao gồm :$I=fracpi^232+intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle xsin 2xdx=fracpi^232-frac12xcos2x |_0^fracpi4+frac12intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi4displaystyle cos 2xdx$ $=fracpi^232+frac14sin 2x |_0^fracpi4$Vậy $I= oxed displaystyle fracpi^232+frac14$.

Xem thêm: Bộ Đề Thi Học Kì 1 Môn Toán Lớp 4 Có Lời Giải, Đề Thi Học Kì 1 Lớp 4 Môn Toán Mới Nhất

Ví dụ $8.$ (Đại học tập Khối $B-2011$)Tính $I=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle frac1+xsin xcos^2xdx$Lời giải :$I=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle frac1cos^2xdx+intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle fracxsin xcos^2xdx=I_1+I_2$Trong đó,$I_1=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle frac1cos^2xdx= an x |_0^fracpi3=sqrt3$và$I_2=intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle fracxsin xcos^2xdx$Đặt $egincasesu=x \ dv=fracsin xcos^2x dx endcases Rightarrow egincasesdu=dx\ v=-frac1cos x endcases$.Khi đó ta tất cả :$I_2=fracxcos x |_0^fracpi3-intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle fracdxcos x$ $=frac2pi3+intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyle fracdsin xsin^2x-1$ $=frac2pi3+frac12intlimits_displaystyle0^displaystylefracpi3displaystyleleft ( frac1sin x - 1-frac1sin x +1 ight )dsin x$ $=frac2pi3+frac12 displaystyle left ( ln left| fracsin x -1sin x + 1 ight| ight ) |_0^fracpi3$ $=frac2pi3+displaystyle ln (2- sqrt3)$.Vậy $I= oxed displaystyle sqrt3+frac2pi3+ln (2- sqrt3)$.E. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài $1.$Tính $I=intlimits_displaystyle 0 ^displaystyle fracpi2xcos^2xdx$Bài $2.$Tính $I=intlimits_0 ^1displaystyle fracx^2e^x(x+2)^2dx$Bài $3.$Tính $I=intlimits_ 0 ^1e^-2xsin^2(pi x)dx$Bài $4.$Tính $I=intlimits_displaystyle fracpi4 ^displaystyle fracpi2fracx^2cos xsin^3 xdx$Bài $5.$Tính $I=intlimits cos (ln x)dx$Bài $6.$Tính $I=intlimits_0 ^pie^2xsin^2xdx$Bài $7.$ (Đại học Khối $D-2010$)Tính $I=intlimits_1 ^eleft (2x-frac3x ight )ln x dx$Bài $8.$ (Đại học Khối $B-2009$)Tính $I=intlimits_1^3 frac3+ln x(x+1)^2dx$