Bạn đang xem: Cách tính tích phân từng phần
Dạng $2.$$\int\limits p(x).\ln f(x)dx$Đặt $u=\ln f(x)$ và $p(x) dx = dv$Dạng $3.$$\int\limits e^{f(x)}\left< {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right>dx$Đặt $u=e^{f(x)}$ hoặc $u= \left< {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right>$C. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ $1.$Tính $I=\int\limits x\cos xdx$Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=x\sin x - \int\limits \sin x dx=\boxed{x\sin x + \cos x +C}$Trong đó $C$ là hằng số.Ví dụ $2.$Tính $I=\int\limits x^3\cos xdx$Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=x^3\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=3x^2dx \\ v=\sin x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=x^3\sin x - 3\int\limits x^2\sin x dx$Đặt $\begin{cases}u=x^2\\ dv=\sin x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2xdx \\ v=-\cos x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=x^3\sin x - 3\left< {-x^2\cos x+2\int\limits x\cos x dx} \right>$Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=x^3\sin x+3x^2\cos x -6\left< {x\sin x - \int\limits \sin x dx} \right>=\boxed{x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\left ( x\sin x+\cos x \right )+C}$.Trong đó $C$ là hằng số.Ví dụ $3.$Tính $\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln^2 x dx$Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=\ln^2 x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{2 \ln x}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{1}{4}x^4\ln^2 x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx$Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\left< {\frac{1}{8}x^4\ln x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{8}\int\limits_{1}^{e}x^3 dx} \right>$ $=\frac{1}{4}e^4-\left< {\frac{1}{8}e^4- \frac{1}{32} x^4\displaystyle \big|_1^e} \right>$ $=\frac{1}{4}e^4-\frac{3e^4+1}{32}$ $=\boxed{ \displaystyle \frac{5e^4-1}{32}}$Ví dụ $4.$Tính $\int\limits_{1}^{2} \displaystyle \frac{2x\ln x dx}{(x^2+1)^2} $Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ dv= \displaystyle \frac{2x dx}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-1}d(x^2+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{-1}{x^2+1} \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{-\ln x}{x^2+1} \displaystyle \big|_1^2+\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\frac{-\ln2}{5} +I_1$Trong đó, $I_1= \int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{x}{x^2(x^2+1)} dx= \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x^2)}{x^2(x^2+1)}$ $I_1=\frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}\left ( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1} \right )d(x^2)=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{x^2+1}\displaystyle \big|_1^2=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$.Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}-\frac{\ln2}{5}}$.Ví dụ $5.$Tính $I=\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx $Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\cos 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=\frac{1}3\sin 3x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\sin3x dx$Đặt$\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\sin 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=-\frac{1}3\cos 3x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\left< -{\frac{1}3e^{-2x}\cos 3x-\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\cos3x dx} \right>$ $=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx$ $=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}I$$\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )$Vậy $I=\boxed{ \displaystyle\frac{1}{13}e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )+C}$Trong đó $C$ là hằng số..D. CÁC BÀI THI ĐẠI HỌCVí dụ $6.$ (Đại học Khối $A-2012$)Tính $I=\int\limits_{1}^{3}\displaystyle \frac{1+ \ln (x+1)}{x^2}dx$Lời giải :Đặt $\begin{cases}u=1+ \ln (x+1) \\ dv= \displaystyle \frac{dx}{x^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x+1} dx\\ v=\frac{-1}{x} \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=-\frac{1+ \ln (x+1)}{x} \displaystyle \big|_1^3+\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\frac{2+\ln2}{3} +I_1$Trong đó, $I_1= \int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\int\limits_{1}^{3}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\ln\left| {\frac{x}{x+1}} \right| \displaystyle \big|_1^3=\ln 3 - \ln 2$. Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{2}{3}+\ln 3-\frac{2}{3}\ln2}$.Ví dụ $7.$ (Đại học Khối $D-2012$)Tính $I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x(1+\sin 2x)dx$Lời giải :$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle xdx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx$Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv= \sin 2x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos2x \end{cases}$.Khi đó ta có :$I=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}-\frac{1}{2}x\cos2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle \cos 2xdx$ $=\frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}\sin 2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}$Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}}$.
Xem thêm: Bộ Đề Thi Học Kì 1 Môn Toán Lớp 4 Có Lời Giải, Đề Thi Học Kì 1 Lớp 4 Môn Toán Mới Nhất
Ví dụ $8.$ (Đại học Khối $B-2011$)Tính $I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1+x\sin x}{\cos^2x}dx$Lời giải :$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx=I_1+I_2$Trong đó,$I_1=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x |_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$và$I_2=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx$Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv=\frac{\sin x}{\cos^2x} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{\cos x} \end{cases}$.Khi đó ta có :$I_2=\frac{x}{\cos x} |_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{dx}{\cos x}$ $=\frac{2\pi}{3}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{d\sin x}{\sin^2x-1}$ $=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle\left ( \frac{1}{\sin x - 1}-\frac{1}{\sin x +1} \right )d\sin x$ $=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2} \displaystyle \left ( \ln \left| {\frac{\sin x -1}{\sin x + 1} }\right| \right ) |_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $=\frac{2\pi}{3}+\displaystyle \ln (2- \sqrt{3})$.Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}+\ln (2- \sqrt{3})}$.E. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài $1.$Tính $I=\int\limits_{\displaystyle 0 }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}x\cos^2xdx$Bài $2.$Tính $I=\int\limits_{0 }^{1}\displaystyle \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx$Bài $3.$Tính $I=\int\limits_{ 0 }^{1}e^{-2x}\sin^2(\pi x)dx$Bài $4.$Tính $I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{4} }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{x^2\cos x}{\sin^3 x}dx$Bài $5.$Tính $I=\int\limits \cos (\ln x)dx$Bài $6.$Tính $I=\int\limits_{0 }^{\pi}e^{2x}\sin^2xdx$Bài $7.$ (Đại học Khối $D-2010$)Tính $I=\int\limits_{1 }^{e}\left (2x-\frac{3}{x} \right )\ln x dx$Bài $8.$ (Đại học Khối $B-2009$)Tính $I=\int\limits_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$