Với cách giải những dạng toán về Hàm số liên tiếp môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương thức giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài bác tập từ luyện sẽ giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về Hàm số thường xuyên lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Hàm số liên tiếp và phương pháp giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số tiếp tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên K cùng x0∈K.

Bạn đang xem: Cách tính hàm số liên tục

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tiếp tại x0 ta nói hàm số đứt quãng tại x0.

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) tiếp tục trên một khoảng chừng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng tầm đó.

- Hàm số y = f(x) thường xuyên trên giả dụ nó tiếp tục trên (a; b) vàlimx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b)

c) các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập R.

- các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tiếp trên từng khoảng xác minh của chúng.

Định lý 2: cho những hàm số y = f(x) cùng y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó:

- các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tiếp tại x0.

- Hàm số y=fxgxliên tục tại x0 trường hợp gx0≠0.

Định lý 3: cho hàm số y = f(x) tiếp tục trên với f(a).f(b) fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.

Bước 3: nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) tiếp tục tại x0.

Nếu f2x0≠Lthì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số thường xuyên tại x0, ta thay cách 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), kiếm tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1

Lời giải

Hàm đã cho khẳng định trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3

Ta thấylimx→−1fx=f−1

Vậy hàm số thường xuyên tại x = - 1.

Ví dụ 2: mang lại hàm số: fx=x−1x−1khi  x≠1m2xkhi  x=1. Tìm m nhằm hàm số tiếp tục tại x = 1.

Lời giải

Hàm đã cho xác minh trên0;+∞

Ta có

f(1) = m2.

limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12

Để hàm số thường xuyên tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính tiếp tục của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi xx0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1

Tính số lượng giới hạn phải:limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số tiếp tục bên trái tại x0.

Nếu L = L2 thì hàm số thường xuyên bên yêu cầu tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường vừa lòng trên không xảy ra thì hàm số không liên tiếp tại x0)

* Đối với câu hỏi tìm m để hàm số thường xuyên tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Kiếm tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: đến hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1.

Xét tính thường xuyên của hàm số tại x = -1.

Lời giải

*

Ví dụ 2: mang đến hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Search m nhằm hàm số thường xuyên tại x = 1

Lời giải

*

Dạng 2: Xét tính thường xuyên của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên những khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x12xkhi x≥1. Xét sự thường xuyên của hàm số.

Lời giải

Hàm số xác minh và liên tiếp trên −∞;1và 1;+∞.

Xét tính liên tiếp tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2

Ta thấy limx→1fx=f1nên hàm số thường xuyên tại x = 1.

Vậy hàm số thường xuyên trên R.

Ví dụ 2: mang đến hàm số fx=3−9−xx , 0x9m               , x=03x               , x≥9. Search m nhằm hàm số tiếp tục trên .

Lời giải

Với x∈0;9: fx=3−9−xxxác định và liên tục trên 0;9.

Với x∈9;+∞: fx=3xxác định và liên tiếp trên 9;+∞.

Với x = 9, ta cóf9=39=13=limx→9+fx

vàlimx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13

Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9nên hàm số tiếp tục tại x = 9.

Với x = 0 ta gồm f(0) = m.

limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16

Để hàm số tiếp tục trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0

⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.

Vậy m=16thì hàm số thường xuyên trên 0;+∞.

Dạng 3: chứng tỏ phương trình bao gồm nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: mang lại hàm số y = f(x) liên tiếp trên cùng f(a).f(b) i; bi sao cho các khoảng tầm (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: x4−3x3+x−18=0 gồm bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng chừng (-1; 3).

b) Phương trình 2x+61−x3=3có bao nhiêu nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số fx=x4−3x3+x−18liên tục trên <- 1; 3>.

Ta có: f−1=238;   f0=−18;   f12=116;     f1=−98;    f3=238

Ta thấy:

f(- 1).f(0) f0.f120, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc0;12

f12.f10, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc12;1

f(1).f(3) t=1−x3⇒x=1−t3. Khi đó phương trình sẽ cho có dạng 2t3 – 6t + 1 = 0

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 tiếp tục trên R

Ta bao gồm f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 t1∈(−2;0). Khi đóx1=1−t13,x1∈(1;9).

f(0).f(1) = - 3 t2∈(0;1). Khi đóx2=1−t23,x2∈(0;1).

f(1).f(2) = - 15 t3∈(1;2). Khi đóx3=1−t33,x3∈(−7;0).

Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 tất cả tối đa 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 bao gồm đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Vậy phương trình 2x+61−x3=3có tối thiểu 3 nghiệm thuộc (-7; 9).

Ví dụ 2: chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 với f(- 1) = m2 + 1

nênf−1.f0=−m2+10,∀m∈ℝ

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên tiếp tục trên <-1; 0>

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với tất cả m.

3. Bài bác tập từ luyện

Câu 1. cho hàm số f(x)=x−2x−4  khi  x≠414         khi  x=4.

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x = 4.

B. Hàm số thường xuyên tại đầy đủ điểm trên tập xác định nhưng cách trở tại x = 4.

C. Hàm số không liên tiếp tại x = 4.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 2. mang đến hàm sốfx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1

Khẳng định nào dưới đây đúng nhất:

A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.

B. Hàm số liên tiếp tại phần đa điểm.

C. Hàm số cách trở tại x0 = -1.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 3. mang đến hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02                   khi x=0

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số tiếp tục tại x0 = 0.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng cách quãng tại x0 = 0.

C. Hàm số liên tục tại đều điểm.

D. tất cả đều sai.

Câu 4. đến hàm số fx=x2−4. Lựa chọn câu đúng trong những câu sau:

(I) f(x) liên tiếp tại x = 2.

(II) f(x) cách trở tại x = 2.

(III) f(x) liên tục trên đoạn <-2; 2>.

A. Chỉ (I) cùng (III).

B. Chỉ (I).

C. Chỉ (II).

D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5. cho hàm số f(x)=x+2x2−x−6 . Xác định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số tiếp tục trên R.

B. Hàm số thường xuyên tại phần nhiều R-2; 3 với hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tiếp tại x = -2; x = 3.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 6. tra cứu m để những hàm sốf(x)=x−23+2x−1x−1  khi x≠13m−2              khi x=1 liên tiếp trên R

A. m = 1

B. m=139

C. m = 2

D. m = 0

Câu 7. kiếm tìm m để những hàm sốf(x)=x+1−1x    khi x>02x2+3m+1  khi x≤0 thường xuyên trên R.

A. m = 1

B.m=−16

C. m = 2

D. m = 0

Câu 8. cho hàm sốf(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1

Tìm a nhằm hàm số liên tục tại x0 = 1.

A. −23.

B. 2.

C. −32.

D. -2.

Câu 9. đến hàm số fx=a2x2        khi  x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi  x>2.

Giá trị của a để f(x) tiếp tục trên R là:

A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. đến hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323      khi x=3.

Tìm xác định đúng trong các khẳng định sau:

(I). F(x) liên tiếp tại x=3

(II). F(x) gián đoạn tại x=3

(III). F(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) cùng (II).

B. Chỉ (II) với (III).

C. Chỉ (I) với (III).

D. Cả (I),(II),(III) mọi đúng.

Câu 11. Tìm xác minh đúng vào các xác định sau:

I. F(x) liên tục trên đoạn với f(a).f(b)fa.fb≥0thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I với II đúng.

D. Cả I cùng II sai.

Câu 12. cho phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng vào các xác định sau:

A. Phương trình (1) không tồn tại nghiệm trong tầm (-1; 1).

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong tầm (-2; 0).

C. Phương trình (1) chỉ bao gồm một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng tầm (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong những số ấy a, b, c là những tham số thực. Chọn xác định đúng trong các xác định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với tất cả a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với tất cả a, b, c.

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có tối thiểu ba nghiệm với mọi a, b, c.

Xem thêm: Cho Hình Chóp Sabcd Có Đáy Là Hình Vuông Cạnh A Mặt Bên Sad Là Tam Giác Đều

Câu 15. mang lại hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 tất cả nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?