Tích phân từng phần là một trong những nội dung trọng tâm mà các em sẽ học trong chương trình toán học 12. Để học tốt nội dung này và đạt được điểm cao trong kỳ thi, Team magdalenarybarikova.com Education sẽ cùng các em tìm hiểu cụ thể tích phân từng phần là gì, đồng thời tổng hợp công thức, các dạng toán thường gặp và cách giải để các em tham khảo.

Bạn đang xem: Cách làm tích phân từng phần


*

Tích phân từng phần là phương pháp tìm tích phân của các hàm số có dạng tích dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó.

Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ.

Công thức tính tích phân từng phần

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thì ta có công thức:


\intop_a^bu(x)v"(x)=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au"(x)v(x)dx
Các em có thể viết gọn thành công thức tổng quát sau:


\intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu

Các dạng bài tập tích phân từng phần thường gặp và cách giải

Các bài toán tính tích phân từng phần được chia làm 4 dạng bài thường gặp. Các em có thể tham khảo qua những dạng toán này và ôn tập để chuẩn bị kiến thức cho những kỳ thi sắp tới.


Lý Thuyết Về Tích Phân Và Phương Pháp Tính Tích Phân Cơ Bản

Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logarit

Công thức chung:


\intop^n_mf(x)ln(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải:

Khi gặp dạng toán này, các em hãy thực hiện các bước sau để giải:


\begin{aligned}&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\&\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}\\&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\&\intop_m^nf(x)ln(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\end{aligned}
Ví dụ minh họa:

Tính tích phân của biểu thức sau:


I=\intop_1^2(4x+3)lnxdx
Bài giải:


\begin{aligned}&\text{Đặt}\begin{cases}u=lnx\\dv=(4x+3)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=2x^2+3x\end{cases}\\&\text{Khi đó: }I=(2x^2+3x)lnx|^2_1-\intop_1^2\frac{2x^2+3x}{x}dx\\&=14ln2-0-(x^2+3x)|^2_1\\&=14ln2-0-<(2^2+3.2)-(1^2+3.1)>\\&=14ln2-(10-4)\\&=14ln2-6\\\end{aligned}

Dạng 2: Hàm đa thức và hàm lượng giác

Công thức chung:


\small \intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx\ \text{hoặc}\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải:


\begin{aligned}&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\&\small\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f"(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\&\small\text{hoặc}\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f"(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\&\small\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\&\small\intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\\&\text{hoặc }\small\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\end{aligned}
Ví dụ minh họa:


B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx
Bài giải:


\begin{aligned}&B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\\&\text{Đặt }u=x+1 \implies du=dx\\&dv=sinxdx \implies v=-cosx\\&\text{Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:}\\&B=\intop_0^\frac{\pi}{2}(x+1)sinxdx\\&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+\intop_0^\frac{\pi}{2}cosxdx\\&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+sinx|_0^\frac{\pi}{2}\\&=1+1=2\\&\text{Vậy }B=2\end{aligned}

Dạng 3: Hàm mũ và hàm lượng giác

Công thức chung:


\small\intop_m^ne^{ax+b}sin(cx+d)dx\ \text{hoặc} \intop_m^ne^{ax+b}cos(cx+d)dx
Phương pháp giải:

Với dạng toán tìm tích phân của một biểu thức cho chứa hàm mũ và hàm lượng giác, các em hãy thực hiện giải toán bằng 2 bước sau:


\begin{aligned}&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\&\small\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}\text{hoặc}\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}\\&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Suy ra được công thức theo u và v như sau:}\\&\intop_m^nudv=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\end{aligned}
Lưu ý: Phải thực hiện 2 lần tích phân từng phần.

Ví dụ minh họa:

Tính tích phân của biểu thức sau:


I = \int e^{-2x}cos3xdx
Bài giải:


\begin{aligned}&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=cos3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=\frac{1}{3}sin3x \end{cases}\\&\small\text{Khi đó ta có: }\\&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\int e^{-2x}sin3xdx\\&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=sin3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=-\frac{1}{3}cos3x \end{cases}\\&\small\text{Khi đó ta có: }\\&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\left<-\frac{1}{3}e^{-2x}cos3x -\frac{2}{3}\int e^{-2x}cos3xdx\right>.\\&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}\int e^{-2x}cos3xdx\\&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}I\\&\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)\\&\small\text{Vậy }I=\frac{1}{13}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)+C\end{aligned}

Dạng 4: Hàm mũ và hàm đa thức

Công thức chung:


\intop_a^b P(x)e^xdx
Trong đó, P(x) là một hàm đa thức.


Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Phương pháp giải:

Để tính tích phân của biểu thức chứa hàm đa thức và hàm mũ, các em tiến hành:


\text{Đặt}\begin{cases}u=P(x)\\dv=e^xdx\end{cases}
Ví dụ minh họa:


C=\intop_0^{1}xe^{-2x}dx
Bài giải:


\begin{aligned}&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=x\\dv=e^{-2x}dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\dv=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}\\&\small\text{Áp dụng công thức tính tích phân từn phần, ta được:}\\&\intop_0^{1}xe^{-2x}dx\\&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1+\frac{1}{2}\intop_0^1e^{-2x}dx\\&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1-\left.\frac{1}{4}e^{-2x}\right|_0^1\\&=\frac{1}{4} \left( 1-\frac{3}{e^2}\right)\\&\small\text{Vậy }C=\frac{e^2-3}{4e^2}\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại magdalenarybarikova.com Education

magdalenarybarikova.com Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, magdalenarybarikova.com Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại magdalenarybarikova.com, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

magdalenarybarikova.com Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.


Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của magdalenarybarikova.com Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại magdalenarybarikova.com Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Xem thêm: Khi Nói Về Peptit Và Protein Phát Biểu Nào Sau Đây Là Sai

magdalenarybarikova.com Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, magdalenarybarikova.com sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại magdalenarybarikova.com Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Thông qua bài viết này, Team magdalenarybarikova.com Education đã chia sẻ cho các em nhiều thông tin về tích phân từng phần, công thức, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các em ứng dụng để giải nhanh bài tập và có được kết quả học tập tốt nhất. Chúc các em học tốt và có được nhiều thành tích cao trong học tập!