CÁC PHÉP BIẾN HÌNH LỚP 11

Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \) cho \( M(x;y) ;M’(x’;y’) \). Khi đó

Nếu \( M’= D_{Ox}(M) \) thì \(\left\{\begin{matrix} x’=x\\ y’=-y \end{matrix}\right.\)

Nếu \( M’= D_{Oy}(M) \) thì \(\left\{\begin{matrix} x’=-x\\ y’=y \end{matrix}\right.\)

Ví dụ:

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho đường thẳng \( d: x-2y+4=0 \) và điểm \( M(1;5) \). Tìm ảnh \( M’ \) của \( M \) qua phép đối xứng trục \( D_d \)

Cách giải:

Vì \(d: x-2y+4=0 \Rightarrow \vec{u}(1;-2)\) là véc tơ pháp tuyến của \( d \)

\(\Rightarrow \vec{n}(2;1)\) là véc tơ chỉ phương của \( d \)

Vì \( d \) là trung trực của \(MM’ \Rightarrow \vec{n}(2;1)\) là véc tơ pháp tuyến của \( MM’ \)

Vậy \(\Rightarrow MM’ : 2x+y-7=0\)

Gọi \(K=MM’\cap d \Rightarrow\) tọa độ \( K \) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x-2y+4=0\\ 2x+y-7=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=3 \end{matrix}\right.\)

Vậy \( K(2;3) \). Mặt khác, do \( K \) là trung điểm \( MM’ \) nên \(\Rightarrow M’=(3;1)\)

***Chú ý : Trong trường hợp \( \alpha = 180^{\circ} \), khi đó \( O \) chính là trung điểm \( MM’ \) và phép quay \(Q_{(O;\alpha)}\) được gọi là phép đối xứng tâm \( O \). Kí hiệu \( D_O \). Nói cách khác : Phép đối xứng tâm là một trường hợp đặc biệt của phép quay

Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \) cho \( I(a;b) ; M(x;y) ;M’(x’;y’) \). Khi đó nếu \( M’= D_{I}(M) \) thì \(\left\{\begin{matrix} x’=2a-x\\ y’=2b-y \end{matrix}\right.\)

Ví dụ:

Trong mặt phẳng cho góc nhọn \(\widehat{xOy}\) và điểm \( A \) thuộc miền trong của góc. Xác định đường thẳng \( d \) đi qua \( A \) cắt \( Ox;Oy \) lần lượt tại \( M,N \) sao cho \( A \) là trung điểm \( MN \)

Cách giải:

Giả sử đã dựng được hai điểm \( M,N \) thỏa mãn bài toán

Khi đó ta có:

\( M= D_A(N) \). Gọi \( O’y’ = D_A(Oy) \)

Khi đó ta có :

\(\left\{\begin{matrix} M \in O’y’\\ M \in Ox \end{matrix}\right.\)

Vậy từ đó ta có cách dựng như sau :

Dựng \( O’y’ = D_A(Oy) \). Khi đó , gọi \( M \) là giao điểm của \( Ox \) và \( O’y’ \).

Lấy \( N= D_A(M) \). Vậy ta dựng được hai điểm \( M,N \) cần tìm.

Phép đồng dạng là gì?

Phép đồng dạng tỉ số \( k >0 \) là phép biến hình biến hai điểm \( M,N \) thành \( M’,N’ \) thỏa mãn \( M’N’=k.MN \)

Tính chất của phép đồng dạng:

Trong các phép đồng dạng thì ở đây chúng ta chỉ đề cập đến phép vị tự, một phép biến hình toán 11 thường gặp trong các bài toán nâng cao

Nếu có phép vị tự tâm \( O \) biến đường tròn này thành đường tròn kia thì \( O \) được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó

Hai đường tròn bất kì luôn có hai tâm vị tự. Nếu phép vị tự có tỉ số dương thì \( O \) được gọi là tâm vị tự ngoài. Nếu phép vị tự có tỉ số âm thì \( O \) được gọi là tâm vị tự trong

Ví dụ:

Cho đường tròn \( (O) \)với dây cung \( PQ \). Hãy dựng hình vuông \( ABCD \) có hai đỉnh \( A,B \) nằm trên đường thẳng \( PQ \) và hai đỉnh \( C,D \) nằm trên đường tròn.

Cách giải:

Giả sử đã dựng được hình vuông \( ABCD \) thoả mãn điều kiện của bài toán.

Dựng hình vuông \( PQMN \)

Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( PQ \Rightarrow OI \) là đường trung trực của \( PQ \)

Vì \(\left\{\begin{matrix} CD // PQ \\ OI \bot PQ \end{matrix}\right. \Rightarrow OI \bot CD\) hay \( OI \) là trung trực của \( CD \)

\(\Rightarrow OI\) là trung trực của \( AB \)

\(\Rightarrow\) tồn tại phép vị tự tâm \( I \) biến hình vuông \( PQMN \) thành hình vuông \( ABCD \)

Từ đó ta có cách dựng:

Dựng hình vuông \( PQMN \).

Gọi \( C;C’ \) là giao của của đường thẳng \( IM \) và đường tròn \( (O) \)

Gọi \( D;D’ \) là giao của của đường thẳng \( IN \) và đường tròn \( (O) \) ( sao cho \( C;D \) nằm cùng phía đối với \( PQ \)

Gọi các điểm \( B,A,B’,A’ \) lần lượt là hình chiếu của các điểm \( C,D,C’,D’ \) trên đường thẳng \( PQ \)

Ta được các hình vuông \( ABCD \) và \( A’B’C’D’ \) thoả mãn điều kiện của bài toán.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Có Lời Giải

Ứng dụng phép biến hình vào giải toán quỹ tích

Đối với mỗi bài toán khác nhau, ta lại sử dụng một phép biến hình khác nhau để tìm quỹ tích. Sau đây là phương pháp đối với từng phép biến hình :

Chỉ ra được véc tơ \( \vec{v} \) cố định. Xét phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) biến điểm \( M \) thành điểm \( M’ \). Biết điểm \( M \) chạy trên đường \(\mathbb{C}\) thì quỹ tích điểm \( M’ \) là đường \(\mathbb{C}’\) thỏa mãn \(\mathbb{C}’=T_{\vec{v}}(\mathbb{C})\)

Chỉ ra được đường thẳng \( d \) cố định. Xét phép đối xứng trục \( D_d \) biến điểm \( M \) thành điểm \( M’ \). Biết điểm \( M \) chạy trên đường \(\mathbb{C}\) thì quỹ tích điểm \( M’ \) là đường \(\mathbb{C}’\) thỏa mãn \(\mathbb{C}’=D_d (\mathbb{C})\)

Chỉ ra được điểm \( O \) cố định và một góc \( \alpha \) không đổi. Xét phép quay \(Q_{(O;\alpha)}\) biến điểm \( M \) thành điểm \( M’ \). Biết điểm \( M \) chạy trên đường \(\mathbb{C}\) thì quỹ tích điểm \( M’ \) là đường \(\mathbb{C}’\) thỏa mãn \(\mathbb{C}’= Q_{(O;\alpha)} (\mathbb{C})\)

Phép đối xứng tâm là một trường hợp đặc biệt của phép quay với \( \alpha = \pi \)

Chỉ ra được điểm \( O \) cố định và tỉ số \( k \) không đổi. Xét phép vị tự \(V_{(O;k)}\) biến điểm \( M \) thành điểm \( M’ \). Biết điểm \( M \) chạy trên đường \(\mathbb{C}\) thì quỹ tích điểm \( M’ \) là đường \(\mathbb{C}’\) thỏa mãn \(\mathbb{C}’= V_{(O;k)} (\mathbb{C})\)

Ví dụ:

Cho đường tròn \( (O) \) và một điểm \( P \) nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi đi qua \( P \) cắt đường tròn \( (O) \) tại hai điểm \( A;B \). Tìm quỹ tích điểm \( M \) thỏa mãn tính chất :

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\)

Cách giải:

Gọi \( I \) là trung điểm \( AB \). Khi đó ta có :

\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI}\\ \overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI} \end{matrix}\right. \Rightarrow \overrightarrow{PI}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}}{2}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{2}\)

Do đó : \(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PI}\)

Xét phép vị tự \(V_{(P;2)}\). Khi đó \(M=V_{(P;2)}(I)\;\;\;\;\;\; (1) \)

Vì \( I \) là trung điểm \( AB \) nên \(\Rightarrow OI \bot AB \Rightarrow OI \bot PI \Rightarrow\) quỹ tích điểm \( I \) là đường tròn đường kính \( PO \;\;\;\;\;\;\; (2) \)

Từ \((1)(2)\Rightarrow\) quỹ tích điểm \( M \) là ảnh của đường tròn đường kính \( PO \) qua phép vị tự \(V_{(P;2)}\)

Gọi \( O’ \) là điểm đối xứng với \( P \) qua \( O \)

Khi đó ta có :

\(V_{(P;2)} (PO)=PO’\)

\(\Rightarrow\) đường tròn đường kính \( PO’ \) là ảnh của của đường tròn đường kính \( PO \) qua phép vị tự \(V_{(P;2)}\)

Mà đường tròn đường kính \( PO’ \) lại chính là đường tròn tâm \( O \) bán kính \( OP \)

Vậy quỹ tích điểm \( M \) cần tìm là đường tròn tâm \( O \) bán kính \( OP \)

Sơ đồ tư duy phép biến hình lớp 11

Sau đây là sơ đồ tư duy về các phép biến hình lớp 11 để các bạn có thể dễ tổng hợp và ghi nhớ:

Các dạng bài tập phép biến hình lớp 11

Một số dạng trắc nghiệm phép biến hình

Sau đây là một bài bài tập trắc nghiệm phép biến hình giúp các bạn luyện tập

Bài 1:

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho điểm \( A(3;4) \). Tìm tọa độ điểm \( A’ \) là ảnh của \( A \) qua phép quay \(Q_{(O;\frac{\pi}{2})}\)

Đáp án \( 1 \)

Bài 2:

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho đường tròn \( (C) \) có phương trình \( (x-1)^2+(y-2)^2=4 \). Khi đó phép vị tự tâm \( O \) tỉ số \( k=-2 \) biến đường tròn \( (C) \) thành đường tròn nào sau đây:

Đáp án \( 4 \)

Câu 3:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Đáp án \( 1 \)

Bài viết trên đây của magdalenarybarikova.com đã giúp bạn tổng hợp kiến thức và các phương pháp giải bài tập về các phép biến hình. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề các phép biến hình lớp 11. Chúc bạn luôn học tốt!.