Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki có những công thức gì, hệ trái gì và cách chứng minh từng hệ quả ra làm sao cùng các dạng vấn đề thường găp là đều phần kiến thức quan trọng, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ lời giải qua bài viết sau đây. Bạn mày mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Please wait

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đã xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách minh chứng và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi và đúng là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đó là một bất đẳng thức do ba nhà toán học chủ quyền phát hiện cùng đề xuất, nó có rất nhiều ứng dụng trong các nghành nghề dịch vụ toán học. Ở nước ta, nhằm cho cân xứng với lịch trình sách giáo khoa, trong tư liệu này họ cũng sẽ call nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên công ty Toán học bạn Nga Bunhiacopxki.


2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang đến 2 cỗ số:

Với hai bộ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*

Với quy cầu nếu một số nào kia (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ quả 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Sơ Đồ Tư Duy Chiếc Thuyền Ngoài Xa Đơn Giản Nhưng Đầy Đủ Dễ Hiểu

  

*


Dấu “=” sảy ra khi còn chỉ khi:

  

*

3. Những dạng phát biểu của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều bắt buộc chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ còn khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng ví như a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều bắt buộc chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài luyện tập thêm

Bài 1: Tìm giá trị béo nhất của các biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng tỏ rằng:

*

(gợi ý: chuyển đổi vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là những số thực dương, . Chứng tỏ rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Triệu chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 với y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*