Nguyên hàm là một trong những chuyên đề đặc biệt quan trọng của Giải tích Toán 12 với thường mở ra nhiều trong các kì thi đại học. Vậy bao hàm công thức nguyên hàm đặc biệt quan trọng nào cần nhớ? Team magdalenarybarikova.com Education để giúp đỡ các em câu trả lời và tìm hiểu rõ hơn về bảng bí quyết nguyên hàm từ cơ bạn dạng đến nâng cấp và cách thức giải bài bác tập nguyên hàm thông dụng qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Bảng nguyên hàm cơ bản


Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, các em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm tương tự như các tính chất và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, hôm nay hàm số F(x) được call là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với đông đảo x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) bên trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x).Định lý 2: trên K, ví như F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x) thì những nguyên hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 trong những hằng số tùy ý.Định lý 3: bên trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều sở hữu nguyên hàm.

Tính hóa học nguyên hàm

3 đặc thù cơ bạn dạng của nguyên hàm được trình bày như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) tất cả đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số không giống 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều phải có những cách làm riêng. Những bí quyết này đã được tổng hợp thành những bảng tiếp sau đây để các em dễ ợt phân loại, ghi lưu giữ và áp dụng chính xác.


*

*

*

*

2 phương thức giải bài tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi vươn lên là số

Đây là cách thức được thực hiện rất thỉnh thoảng giải nguyên hàm. Vì chưng vậy, các em cần được nắm vững phương thức này nhằm giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến chuyển loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm tiếp tục trên K, y = f(u) tiếp tục để f xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) cùng tính vi phân nhị vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi trở nên loại 2: Khi đề bài xích cho hàm số f(x) thường xuyên trên K với x = φ(t) là một trong những hàm số xác định, liên tục trên K và bao gồm đạo hàm là φ"(t). Thời gian này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) cùng lấy vi phân nhì vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện biến đổi đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) với v(x) gồm đạo hàm tiếp tục trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, những em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì các em đang có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương thức sao đến phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần hay gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về cách làm nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số mang đến trước f(x) trên một khoảng.

b. Phương thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra lấy một ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác minh trên tập xác minh D.

Hàm số Y = F(x) được call là nguyên hàm của hàm số y = f(x) bên trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều khiếu nại F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Viết Bài Tập Làm Văn Số 6 Lớp 7, Văn Mẫu Bài Tập Làm Văn Số 6 Đề 5

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) tất cả đạo hàm liên tục trên D, lúc ấy ta có công thức: