Bất đẳng thức Cô-si: lý thuyết cần ghi lưu giữ và những dạng bài xích tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si xuất xắc bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ giới thiệu về một số trong những kiến thức đề xuất nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một trong những dạng bài bác tập hay gặp. Bạn mày mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đã xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi lưu giữ và các dạng bài tập hay gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh bđt này dẫu vậy hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Bài tập về bất đẳng thức côsi


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cùng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, cùng trung bình cùng chỉ bởi trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bởi nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b

– Bất đẳng thức Cô ham với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 và ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 & > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 & > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều yêu cầu chứng minh.

d. Trường hòa hợp n = 2k

Xem xét những trường hợp n= 2 k, với k là một số trong những nguyên dương. Công ty chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hòa hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức vẫn được minh chứng ở trên.

Khi, gồm một giá bán trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để có tác dụng như vậy, các bước được triển khai như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều đề nghị chứng minh).

e. Trường đúng theo n k

Nếu n không phải là một trong hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, thì nó chắc hẳn rằng là nhỏ dại hơn một vài nào đó theo hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, bởi chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị ngăn trên. Do đó, nhưng mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân thủ theo đúng hàm mũ tự nhiên cơ số 2 bự hơn n.

Xem thêm: Phấn Đấu Như Thế Nào Để Trở Thành Một Người Đoàn Viên Theo Em Cần Phải Làm Gì ?

Vì vậy, ví như ta có n số, thì ta có thể biểu diễn quý hiếm trung bình cộng α, cùng được mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> và = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n và > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều cần chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số x > 0 với ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ còn khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với bố số a, b, c ko âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán có được dấu bằng khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng cách thức làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô tê mê cho tía số a, b, c ko âm có:

*

Tương từ ta có 

*
 và 
*

Cộng vế cùng với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá trị bé dại nhất của những biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến đổi đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: đổi khác rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, bệnh minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si mê cho ba số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)