Bạn đang xem: Bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải
I. LÝ THUYẾT QUY TẮC ĐẾM
1. Quy tắc nhân:Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua $n$ giai đoạn liên tiếp, trong đó:Giai đoạn 1 có $m_1$ cách thực hiệnGiai đoạn 2 có $m_2$ cách thực hiện….Giai đoạn $n$ có $m_n$ cách thực hiệnKhi đó, có: $m_1.m_2...m_n$ cách để hoàn thành công việc đã cho.2. Quy tắc cộng:Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo $n$ giải pháp khác nhau, trong đó:Phương án thứ 1 có $m_1$ cách thực hiệnPhương án thứ 2 có $m_2$ cách thực hiện…. ………..Phương án thứ $n$ có $m_n$ cách thực hiệnKhi đó, có: $m_1 + m_2 + ... + m_n$ cách để hoàn thành công việc đã cho.Nhận xét:Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:+ Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.+ Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Dưới đây là một số bài tập minh họa:II. BÀI TẬP QUY TẮT ĐẾM LỚP 11 CÓ LỜI GIẢI
Câu 1: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Lập được từng nào số tự nhiên và thoải mái trong mỗi trường hợp sau:1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.2. Số thoải mái và tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.1. Gọi số thoải mái và tự nhiên thỏa mãn yêu cầu việc là $overline abcd $Chọn chữ số $d$ có 3 cách chọn,Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn,Chọn chữ số $b$ có 5 cách chọn,Chọn chữ số $c$ có 5 cách chọnTheo quy tắc nhân có: $3.5.5.5 = 375$ (số).2. Gọi số thoải mái và tự nhiên thỏa ycbt là $overline abcd $- Nếu $d = 0$: Chọn chữ số $d$ có 1 cách chọnChọn chữ số $a$ có 5 cách chọnChọn chữ số $b$ có 4 cách chọnChọn chữ số $c$ có 3 cách chọnTheo quy tắc nhân có: $1.5.4.3 = 60$ (số) $(*)$- Nếu $d $$ e $ 0, có 2 cách chọn chữ số dChọn chữ số $a$ có 4 cách chọnChọn chữ số $b$ có 4 cách chọnChọn chữ số $c$ có 3 cách chọnTheo quy tắc nhân có: $2.4.4.3$ = 96 (số) $(**)$Từ $(*)$ và $(**)$ theo Quy tắc cộng ta có $60 + 96 = 156$ (số)Câu 2: Bạn An có 5 nhành hoa hồng khác nhau, 4 hoa lá cúc khác nhau, 3 nhành hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm làm thế nào để cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại.
Bài toán xảy ra 3 trường hợp.+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.- Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách- Chọn 1 bông hồng thứ nhị có 4 cách- Chọn 1 bông cúc có 4 cách- Chọn 1 bông lan có 3 cáchTheo quy tắc nhân, ta có $5.4.4.3 = 240$ cách (1)+Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.- Chọn 1 bông hồng có 5 cách- Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách- Chọn 1 bông cúc thứ nhị có 3 cách- Chọn 1 bông lan có 3 cáchTheo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2)+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.- Chọn 1 bông hồng có 5 cách- Chọn 1 bông cúc có 4 cách- Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách- Chọn 1 bông lan thứ nhị có 2 cáchTheo quy tắc nhân, ta có $5.4.3.2 = 120$ cách (3)Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: $240 + 180 + 120 =540$ cách.Câu 3: Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số trong những gồm 4 chữ số không giống nhau từ các chữ số trên . Hỏi:a. Có bao nhiêu số chẵnb. Gồm bao nhiêu số xuất hiện chữ số 1
a. Hotline số vẫn cho tất cả dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$ ( $a_4$ là chữ số chẵn) - kiếm tìm số các số dạng trên tất cả $a_1 = 0$ : - $a_4$ có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_7^3$=210 phương pháp chọn bắt buộc số những số nầy là :630 số - tìm kiếm số những số dạng trên mà a1 = 0 : - $a_4$ có 2 biện pháp chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 cách chọn nên số các số nầy là: 60 sốVậy số những số chẵn đề nghị tìm là :630 –60 = 570 sốb. Call số sẽ cho gồm dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$ - kiếm tìm số những số dạng trên kể cả a1 = 0 :Chọn vị trí mang đến chữ hàng đầu : có 4 giải pháp , các vị trí còn sót lại có $A_7^3$=210 giải pháp chọn bắt buộc số các số nầy là :840 số- tìm kiếm số các số dạng trên nhưng a1 = 0 :$a_1$ gồm 3 biện pháp chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 giải pháp chọn nên số những số nầy là :90 sốVậy số các số buộc phải tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng)Câu 4: Có từng nào cách thu xếp chỗ 4 nữ giới và 6 các bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 nữ giới nào ngồi cạnh nhau nếua. Ghế sắp thành mặt hàng ngangb. Ghế chuẩn bị quanh 1 bàn tròn.
a. Trước tiên xếp 6 bạn nam vào vị trí gồm 6! phương pháp sắp xếp. Xem mỗi bạn là 1 trong vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 các bạn vào 7 vị trí gồm $A_7^4$ cách. Vậy bao gồm 6!.$A_7^4$ cáchb. Trước tiên xếp 6 chúng ta nam vào vòng tròn tất cả 5! cách. Xem mỗi bạn gái là 1 ngăn ngăn chế tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có $A_6^4$ cách.Vậy tất cả 5!. $A_6^4$ giải pháp sắp xếp.Câu 5: Trong một tổ học viên của lớp gồm 8 nam và 4 nữ. Cô giáo muốn chọn ra 3 học sinh để gia công trực nhật lớp học, trong số ấy phải có tối thiểu một học viên nam. Hỏi thầy giáo gồm bao nhiêu cách chọn.
call $A$ là tập tất cả các bí quyết chọn 3 học sinh trong 12 học tập sinh. điện thoại tư vấn $B$ là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ. điện thoại tư vấn $C$ là tập hợp tất cả các biện pháp chọn hợp ý yêu cầu bài toán.Ta tất cả $|C|=|A|-|B|$ (quy tắc cộng).Mặt khác thường thấy $|A|= C_12^3 , |B|= C_4^3$, bắt buộc $|C|= C_12^3 -C_4^3=216$Vậy có 216 cách chọn ưng ý yêu cầu bài xích toán.Câu 6: Với tập $E = $$1,2,3,4,5,6,7$ hoàn toàn có thể lập được từng nào số tất cả 5 chữ số tách biệt và :a) Là số chẵn.b) trong đó có chữ số 7.c) trong số đó có chữ số 7 với chữ số mặt hàng nghìn luôn là chữ số 1.
a) Sử dụng kiến thức về hoạn :* $ a_5$ được chọn từ tập $F = $$2,4,6$ $Rightarrow$ có 3 bí quyết chọn.* $ a_1,a_2,a_3,a_4$ là một bộ minh bạch thứ tự được lựa chọn từ $E$$a_5$ cho nên vì thế nó là 1 chỉnh đúng theo chập 4 của 6$Rightarrow $ gồm $A^4_6$ giải pháp chọn.Theo nguyên tắc nhân, số những số chẵn gồm 5 chữ số rành mạch , có mặt từ tập $E$ bởi :$ 3.A^4_6 = 1080$ số.b) chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của những chữ số để tại vị chữ số 7$Rightarrow $ bao gồm 5 phương pháp chọnBốn vị trí sót lại nhận giá bán trị là một trong bộ khác nhau thứ tự được chọn từ $E$$7$ cho nên vì thế nó là một trong chỉnh hợp chập 4 của 6$ Rightarrow $ bao gồm $A^4_6$ giải pháp chọn.Vây, số những số tất cả 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập $E$, trong các số ấy có chữ số 7, bằng :$ Rightarrow 5.A^4_6 = 1800$ số.c) Gán $a_2 = 1 Rightarrow $ Có một cách chọnChọn 1 địa chỉ trong 4 vị trí của những chữ số để đặt chữ số 7 $Rightarrow$ tất cả 4 cách chọn.Ba vị trí còn sót lại nhận giá bán trị là một trong những bộ khác nhau thứ trường đoản cú được chọn từ $E$$7,1$ vì thế nó là 1 trong những chỉnh thích hợp chập 3 của 5$Rightarrow $ có $A^3_5$ giải pháp chọn.Vậy, số các số có 5 chữ số sáng tỏ hình thành trường đoản cú tập $E$, trong những số đó có chữ số 7 cùng chữ số hàng vạn là chữ số 1, bởi :$ 1.4.A^3_5 = 240$ số.Câu 7: Cho những số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7a) hoàn toàn có thể viết được bao nhiêu số bao gồm 4 chữ số khác nhau? trong những số ấy có bao nhiêu số chẵn? bao nhiêu số chia hết mang đến 5?b) có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải xuất hiện chữ số 5.c) bao gồm bao nhiếu số tất cả 4 chữ số không giống nhau nhỏ tuổi hơn 4000.
Xem thêm: Khái Niệm Thời Kỳ Quá Độ Lên Chủ Nghĩa Xã Hội Là Tất Yếu Và Lâu Dài
a) ố có $4$ chữ số khác nhau.Số cách chọn chữ số hàng nghìn: $7$ cách.Số phương pháp chọn $3$ chữ số sót lại $A^3_7=210$.Vậy số những số có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $7.210=1470$ (số).* Số các số chẵn bao gồm $4$ chữ số khác nhau.Vì số yêu cầu tìm là chẵn buộc phải chữ số tận cùng hoàn toàn có thể là: $0; 2; 4; 6$.+ trường hợp chữ số tận cùng khác $0$ thì số các số buộc phải tìm: $3.6.A^2_6=540$ (số).+ giả dụ chữ số tận thuộc là $0$ thì số các số buộc phải tìm là: $1.7.A^2_6=210$ (số).Vậy số những số chẵn bao gồm $4$ chữ số khác biệt cần tra cứu là: $540+210=750$ (số).Nhận xét: Ở đây việc tìm số các số lẻ thực hiện dễ dàng hơn so với việc đào bới tìm kiếm các số chẵn vì thế đối với việc này ta có thể tiến hành tìm những số lẻ từ kia suy ra những số chẵn.Số những số lẻ có $4$ chữ số khác nhau là: $4.6.A^2_6=720$.Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số không giống nhau cần tìm kiếm là:$1470-720=750$ (số).* Số những số gồm $4$ chữ số không giống nhau chia hết đến $5$.Vì số đề nghị tìm phân chia hết cho $5$ phải chữ số tận cùng có thể là $0$ hoặc $5$.+ nếu chữ số tận thuộc là $0$ thì số những số có $4$ chữ số không giống nhau chia hết cho $5$ là: $1.7.A^2_6=210$ (số).+ nếu chữ số tận thuộc là $5$ thì số các số gồm $4$ chữ số không giống nhau chia hết mang đến $5$ là: $1.6.A^2_6=180$ (số).Vậy số những số yêu cầu tìm có $4$ chữ số khác nhau chia hết đến $5$ là:$210+180=390$ (số).b) Số phương pháp chọn địa điểm chữ số $5$ là $4$.Số cách chọn $3$ chữ số còn lại ( gồm cả chữ số $0$ đứng đầu ) là $A^3_7$Hơn nữa ta lại có: $3.C^2_8.C^2_5.C^1_3 + C^1_8.C^2_5.C^1_3 + C^1_8.C^1_5.C^2_3 = 780$ số bao gồm $4$ chữ số khác biệt nhất thiết xuất hiện chữ số $5$ và chữ số $0$ đứng đầu.Vậy số các số tất cả $4$ chữ số khác nhau nhât thiết có mặt chữ số $5$ là: $4.A^3_7 - 3.A^2_6 = 840 - 90 =750$ (số).c) bởi số buộc phải tìm bé dại hơn $4000$ phải chữ số hàng nghìn có $3$ phương pháp chọn. Số giải pháp chọn $3$ chữ số sót lại là: $A^3_7=210$.Vậy số các số phải tìm bao gồm $4$ chữ số không giống nhau nhỏ dại hơn $4000$ là:$ 3.210=630$ (số).