Bài tập mũ logarit lũy thừa áp dụng cao - khó có đáp án bỏ ra tiết

Ở phần này ta xét một số Bài tập ở tại mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị béo nhất, nhỏ tuổi nhất của hàm số mũ và logarit ở những chủ đề sau.

Một số bài xích tập trắc nghiệm VDC chương 2 lớp 12 có giải thuật chi tiết

Bài tập 1:<Đề thi thí điểm Bộ giáo dục đào tạo 2017> Xét những số thực $a,b$ thỏa mãn nhu cầu $a>b>1.$ Tìm giá trị bé dại nhất $P_min $ của biểu thức $P=log _fracab^2left( a^2 ight)+3log _bleft( fracab ight).$

A. $P_min =19.$ B.

Bạn đang xem: Bài tập mũ logarit vận dụng cao

$P_min =16.$ C. $P_min =14.$ D. $P_min =15.$

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $P=left( 2log _fracaba ight)^2+3left( log _ba-1 ight)=frac4left( log _afracab ight)^2+frac3log _ab-3=frac4left( 1-log _ab ight)^2+frac3log _ab-3$

Đặt $t=log _ab$ (Do $a>b>1Rightarrow 0

Bài tập 2: Cho các số thực dương $1>a>b>0.$

Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $P=-3log _a^4fracab+log _b^2left( ab ight).$

A. $P_min =3$ B. $P_min =4$ C. $P_min =frac52$ D. $P_min =frac32$

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $P=-frac34log _afracab+left( log _bleft( ab ight) ight)^2=frac-34left( 1-log _ab ight)+left( log _ba+1 ight)^2$

Đặt $t=log _ba$ $left( 0

Bài tập 3: <Đề thi THPT đất nước năm 2017> Xét những số thực dương $a,b$ thỏa mãn

$log _2frac1-aba+b=2ab+a+b-3.$ Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức $P=a+2b.$

A. $P_min =frac2sqrt10-32.$ B. $P_min =frac2sqrt10-52.$ C. $P_min =frac3sqrt10-72.$ D. $P_min =frac2sqrt10-12.$

Lời giải đưa ra tiết:

Ta có: $log _2frac1-aba+b=2ab+a+b-3Leftrightarrow log _2left( 1-ab ight)-log _2left( a+b ight)=2ab-2+a+b-1$

$Leftrightarrow log _2left( 1-ab ight)+1+2left( 1-ab ight)=log _2left( a+b ight)+a+bLeftrightarrow log _2left< 2left( 1-ab ight) ight>+2left( 1-ab ight)=log _2left( a+b ight)+a+b$

Xét hàm số $fleft( t ight)=log _2t+t$ $left( t>0 ight)$ ta có: $f"left( t ight)=frac1tln 2+1>0$ $left( forall t>0 ight)$ đề nghị hàm số $fleft( t ight)$ đồng biến trên khoảng chừng $left( 0;+infty ight).$ khi đó $fleft< 2left( 1-ab ight) ight>=fleft( a+b ight)Leftrightarrow 2left( 1-ab ight)=a+b.$

Suy ra $2ab+a+b=2Rightarrow a=frac2-b1+2bRightarrow P=frac2-b1+2b+2bRightarrow P"=frac-5left( 1+2b ight)^2+2=0Rightarrow b=frac12left( sqrtfrac52-1 ight)$

Khi đó $P_min =frac2sqrt10-32.$ Chọn A.

Bài tập 4: <Đề thi THPT giang sơn năm 2017> Xét những số thực dương $x,y$ thỏa mãn

$log _3frac1-xyx+2y=3xy+x+2y-4.$ Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất $P_min $ của $P=x+y$

A. $P_min =frac9sqrt11-199.$ B. $P_min =frac2sqrt11-33.$ C. $P_min =frac18sqrt11-2921.$ D. $P_min =frac9sqrt11+199.$

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $log _3frac1-xyx+2y=3xy+x+2y-4Leftrightarrow log _3left( 1-xy ight)-log _3left( x+2y ight)+3-3xy+1=x+2y$

$Leftrightarrow log _33left( 1-xy ight)+3-3xy=log _3left( x+2y ight)+x+2y.$

Xét hàm số $fleft( t ight)=log _3t+t$ $left( t>0 ight)$ ta có: $f"left( t ight)=frac1tln 3+1>0$ $left( forall t>0 ight)$ bắt buộc hàm số $fleft( t ight)$ đồng vươn lên là trên khoảng tầm $left( 0;+infty ight).$ do đó $fleft( 3-3xy ight)=fleft( x+2y ight)Leftrightarrow 3-3xy=x+2y$

Khi đó $xleft( 1+3y ight)=3-2yRightarrow P=y+frac3-2y1+3yRightarrow P"left( y ight)=1-frac11left( 1+3y ight)^2=0Leftrightarrow y=frac-1+sqrt113$ (do $y>0).$

Từ đó suy ra $P_min =Pleft( frac-1+sqrt113 ight)=frac2sqrt11-33.$ Chọn B.

Bài tập 5: Cho $x,y$ là những số thực vừa lòng $log _4left( x+y ight)+log _4left( x-y ight)ge 1.$ Tìm giá chỉ trị bé dại nhất $P_Min$ của $P=2x-y$

A. $P_min =4.$ B. $P_min =-4.$ C. $P_min =2sqrt3.$ D. $P_min =frac10sqrt33.$

Lời giải đưa ra tiết:

Ta có: $log _4left( x+y ight)+log _4left( x-y ight)ge 1Leftrightarrow x^2-y^2ge 4Rightarrow xge sqrty^2+4$

Do đó $Pge 2sqrty^2+4-y=f(y).$ . Lúc đó $P"=frac2ysqrty^2+4-1=0xrightarrowy>0y=frac2sqrt3$

Suy ra $P_min =2sqrt3.$ Chọn C.

Bài tập 6: Cho nhị số thực dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức $3+ln fracx+y+13xy=9xy-3x-3y.$ Tìm giá bán trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $P=xy.$

A. $m=frac13.$ B. $m=1.$ C. $m=frac12.$ D. $m=0.$

Lời giải bỏ ra tiết:

Từ đưa thiết, ta bao gồm $3+ln fracx+y+13xy=9xy-3x-3yLeftrightarrow 3+ln left( x+y+1 ight)-ln left( 3xy ight)=9xy-3x-3y$

$Leftrightarrow ln left( x+y+1 ight)+3left( x+y+1 ight)=ln left( 3xy ight)+3left( 3xy ight)Leftrightarrow fleft( x+y+1 ight)=fleft( 3xy ight)left( * ight)$

Xét hàm số $fleft( t ight)=ln t+3t$ với $t>0,$ ta tất cả $f"left( t ight)=3+frac1t>0;forall t>0Rightarrow fleft( t ight)$ là hàm số đồng biến.

Khi đó $left( * ight)Leftrightarrow x+y+1=3xyLeftrightarrow 3xy-1=x+yunderbracege _AM-GM2sqrtxyLeftrightarrow 3xy-2sqrtxy-1ge 0.$

$Leftrightarrow left( sqrtxy-1 ight)left( 3sqrtxy+1 ight)ge 0Leftrightarrow sqrtxyge 1Leftrightarrow xyge 1Rightarrow P_min =1Rightarrow m=1.$ Chọn B.

Bài tập 7: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn nhu cầu $a>1,b>1.$

Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức $P=frac272left( 2.log_aba+log _abb ight)^2+4log _aab.$

A. $P_min =36.$ B. $P_min =24.$ C.

Xem thêm: Top 10 Bài Văn Phân Tích Bài Ca Ngắn Đi Trên Bãi Cát (Sa Hành Đoản Ca)

$P_min =32.$ D. $P_min =48.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $P=frac272left( 2.log_aba+log _abb ight)^2+4log _aab=frac272left( frac2log _aab+frac1log _bab ight)^2+4.log _ab+4.$

Đặt $t=log _ab$ $left( t>0 ight)Leftrightarrow log _ba=frac1t,$ khi ấy $P=frac272.left( frac2t+1+fractt+1 ight)^2+4t+4=frac272.left( fract+2t+1 ight)^2+4t+4.$