MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình số 1 đối với một hàm con số giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là các hằng số
*
và
*
là một hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi phân tách hai vế của phương trình cho
*
, mang về phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Khẳng định nào sau đó là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với chúng ta nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số vị trí điểm biểu diễn những nghiệm của phương trình

*
trên con đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó bao gồm 4 điểm màn trình diễn nghiệm của phương trình vẫn cho trê tuyến phố tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình bậc nhất đối với
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình số 1 đối với
*
và
*
là phương trình bao gồm dạng:

*


Cách giải:Điều kiện để phương trình có nghiệm:
*
.

Chia hai vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi đó phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm tất cả các cực hiếm thực của
*
để phương trình gồm nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình có nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không có giá trị làm sao của

*
để phương trình tất cả nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào tiếp sau đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

*
là
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình gồm một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết phù hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

*
trong đó
*
là các hằng số
*
và
*
là một hàm con số giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ với đặt đk cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. ở đầu cuối đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm toàn bộ các quý giá thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không bao gồm nghiệm bên trên khoảng
*
. Cho nên vì vậy phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm thuộc khoảng
*
khi và chỉ khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
và
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhì đối với
*
và
*
là phương trình gồm dạng:

*


Cách giải:
+ chất vấn xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, chia hai vế của phương trình cho
*
ta chiếm được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhì đối với

*
mà ta đã hiểu phương pháp giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm cho như sau:
+ Đối với phương trình quý phái bậc ba:
*

thì cách giải cũng hoàn toàn tương từ bỏ như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề làm sao sau đó là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân chia hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu phân tách 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình vẫn cho tương đương với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương cùng với phương trình như thế nào sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, cầm vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, phân chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, cầm cố vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Vày đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

Vì

*
:

Vì

*
để phương trình sau bao gồm nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, nỗ lực vào phương trình ta được:
*
. Phương trình bao gồm nghiệm khi và chỉ còn khi
*
.Xét
*
, phân tách cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) gồm nghiệm
*
thì phương trình đang cho bao gồm nghiệm. Cho nên vì vậy có 2 quý giá nguyên của
*
thỏa mãn yêu mong bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình tất cả nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình gồm dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tỉ, Số Của Hai Số

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

*
ta có:

-->