Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ chia sẻ với bạn không chỉ lý thuyết mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm phương pháp luôn có ví dụ kèm lời giải chi tiết. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với hy vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta bắt đầu


1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a,\,b,\,c\in \mathbb{R};\,a\ne 0 \right)$. Xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, ta có

∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$.∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.∆

Chú ý.

Bạn đang xem: Bài tập giải phương trình bậc 2

Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

*

Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.

Lời giải

Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=-12$

Căn bậc hai của ∆ là $\pm i\sqrt{12}$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${{z}_{1}}=\frac{2+i\sqrt{12}}{2}$ và ${{z}_{1}}=\frac{2-i\sqrt{12}}{2}$

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

*

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

a) (2 − i)x + (2 + y)i = 2 + 2i

b) $\frac{{x – 2}}{{1 + i}} + \frac{{y – 3}}{{1 – i}} = i$

Lời giải

*

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện đã cho để tìm số phức z

Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}\ne 0,$ ${{z}_{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)}^{4}}$

Lời giải

Chuẩn hóa ${{z}_{1}}=1,$ đặt ${{z}_{2}}=a+bi,\left( a,b\in R \right),$ khi đó $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

*

Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Phương pháp giải

*

Các bất đẳng thức cổ điển

*

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z|

Lời giải

*

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải

*

Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải

*

Ví dụ .

Xem thêm: 1936 Mệnh Gì, Tuổi Con Gì ❤️️ Bộ Tử Vi Sinh Năm 1936 Tuổi Gì

Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 – z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2|

Lời giải

*

Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải

*

Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.

Lời giải

*

3. Bài tập phương trình số phức

Câu 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:

A. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right)$

B. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$

C. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$

D. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right)$