1. Một số công thức đạo hàm cao cấp của hàm số thường xuyên gặp
$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$
2. Công thức Lepnit tính đạo hàm v.i.p của hàm số tích
Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ tất cả đạo hàm đến cấp cho $n$ khi ấy $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$
3. Những ví dụ minh hoạ
Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$
Do đó $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$
Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$
Câu 4.
Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải
Tính đạo hàm v.i.p $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$
Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$
Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$
Câu 5. Tính đạo hàm cao cấp $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$
Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.
Cách 2:Ta tất cả $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n hai vế có:
$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$
Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$
Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và
$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$
Hiện trên magdalenarybarikova.com tạo 2 khoá học Toán thời thượng 1 với Toán cao cấp 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:
Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và phương thức giải bài xích tập những dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Phương châm của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 trong số trường gớm tế.
Xem thêm: Giải Toán Lớp 4 Bài 52: Tính Chất Kết Hợp Của Phép Nhân, Tính Chất Kết Hợp Của Phép Nhân
Sinh viên những trường ĐH sau đây rất có thể học được combo này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH yêu mến Mại
- học viện Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế ĐH non sông Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...