Phân dạng bài bác tập bí quyết lượng giác

1. định hướng công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

Sử dụng mặt đường tròn lượng giác, chúng ta có những khái niệm và hiệu quả sau:

*

1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Bạn cần nhớ quý hiếm lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,dfracpi6,dfracpi4,dfracpi3,dfracpi2,pi $ như trong bảng sau:

*

1.3. Cực hiếm lượng giác của các cung có liên quan quan trọng (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung có tương quan cos đối – sin bù – phụ chéo cánh – không giống $ pi $ tan; hơn nhau độ tuổi 90…; hơn hèn chẵn $ pi $ thì sin-cos…

STTHai cungGọi là hai cungCông thứcCách nhớ
1$left( -a ight)$ cùng $a$Đối nhau$cos (-a)=cos a$

$sin (-a)=-sin a$

$ an (-a)=- an a$

$cot (-a)=-cot a$

Cos đối
2$left( pi -a ight)$ và$a$Bù nhau$sin (pi -a)=sin a$

$cos(pi -a)=-cos a$

$ an (pi -a)=- an a$

$cot (pi -a)=-cot a$

Sin bù
3$left( fracpi 2-a ight)$ với $a$

Phụ nhau$sin left( fracpi 2-a ight)=cos a$

$cosleft( fracpi 2-a ight)=sin a$

$ an left( fracpi 2-a ight)=cot a$

$cot left( fracpi 2-a ight)= an a$

Phụ chéo
4$left( pi +a ight)$ cùng $a$Sai khác $pi $$ an (pi +a)= an a$

$cot (pi +a)=cot a$

$sin (pi +a)=-sin a$

$cos(pi +a)=-cos a$

Khác $pi $ tan, cot
5$left( fracpi 2+a ight)$ với $a$Hơn $fracpi 2$$sin left( fracpi 2+a ight)=cos a$

$cosleft( fracpi 2+a ight)=-sin a$

$ an left( fracpi 2+a ight)=-cot a$

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

$ an x=dfracsin xcos x, cot x=dfraccos xsin x, an xcot x=1 $$ sin^2x+cos^2x=1, 1+ an^2x=dfrac1cos^2 x, 1+cot^2x=dfrac1sin^2x $

1.5. Phương pháp cộng

1.6. Công thức nhân và hạ bậc

1.7. Công thức thay đổi tổng thành tích và tích thành tổng

2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

Ví dụ 1.

Bạn đang xem: Bài tập công thức lượng giác

Biểu diễn những cung bao gồm số đo: $ dfracpi4,dfrac5pi4,dfracpi4+kpi,dfracpi6,dfrac13pi6,dfracpi3+kdfrac2pi3,60^circ+k120^circ $ trê tuyến phố tròn lượng giác.

Ví dụ 2. Tính $ an 300^circ,sin(-780^circ) $

Hướng dẫn.$ an 300^circ=-sqrt3,sin(-780^circ)=-dfracsqrt32. $

Ví dụ 3. Rút gọn những biểu thức

$ A=5 an540^circ+2cos1170^circ+4sin990^circ-3cos540^circ. $$ B= 3sindfrac25pi6-3 andfrac13pi4+2cosdfrac14pi3$$ C=dfracsin(-234^circ)-cos216^circsin144^circ-cos216^circcdot an36^circ $$ D=sin(x+pi)-cos(dfracpi2-x)+cot(2pi-x)+ an(dfrac3pi2-x) $

Hướng dẫn.$ A=-1, quad B=-dfrac12, quad C=1,quad D=-2sin x $

Ví dụ 4. chứng tỏ các đẳng thức

$ sin^4x+cos^4x=1-2sin^2xcos^2x $$ sin^6x+cos^6x=1-3sin^2xcos^2x $$ dfrac1-cos xsin x=dfracsin x1+cos x $$ dfrac1+cot x1-cot x=dfrac an x+1 an x-1 $

Ví dụ 5. Rút gọn những biểu thức lượng giác sau:

$ A=( an x+cot x)^2-( an x-cot x)^2 $$ B=(1-sin^2x)cot^2x+1-cot^2x $$ C= an x+dfraccos x1+sin x $$ D=dfraccos x an xsin^2x-cot xcos x $

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=sin^2x$, $C=dfrac1cos x$, $D=sin x $

Ví dụ 6. chứng minh các biểu thức sau không dựa vào vào $ x $

$ A=dfraccot^2x-cos^2xcot^2x $$ B=dfrac(1- an^2x)^24 an^2x $$ C=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x) $

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. cho $ cosalpha=-dfrac35 $ cùng $ 180^circBài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

a) $sin alpha = frac23, m fracpi 2 b) $cos alpha = frac45, m frac3pi 2 c) $cos alpha = – frac57, m – pi d) $ an alpha = frac43, m pi e) $cot alpha = – sqrt 3 , m – frac3pi 2 f) $ an alpha = frac73, m 0 Bài 2. đến $ an alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = frac2sin alpha – 3cos alpha 4sin alpha + 3cos alpha $b) $B = frac3sin alpha – 5cos alpha 5sin ^3alpha – 4cos ^3alpha $.

Bài 3. mang lại $cot alpha = frac35$, tính giá bán trị những biểu thức

a) $A = fracsin alpha + cos alpha sin alpha – cos alpha $b) $B = fracsin alpha .cos alpha sin ^2alpha – cos ^2alpha $c) $C = frac3sin ^2alpha + 12sin alpha cos alpha + 10cos ^2alpha 3sin ^2alpha + sin alpha cos alpha – 2cos ^2alpha $.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $A = fracsin ^2alpha – cos ^2alpha sin ^2alpha – 2cos ^2alpha $ biết $cot alpha = 3$.b) $A = frac2sin ^2alpha – cos ^2alpha – 1 – 2sin ^2alpha + 3cos ^2alpha $ biết $ an alpha = frac14$.c) $C = fraccot alpha + an alpha cot alpha – an alpha $ biết $sin alpha = frac35, m 0 d) $D = fracsin alpha + 3cos alpha an alpha $ biết $sin alpha = – frac45, m frac3pi 2 e) $E = frac4cot alpha + 31 – 5sin alpha $ biết $cos alpha = – frac13, m pi f) $F = fracsin alpha – 3cos alpha cos alpha – 2sin alpha $ biết $ an alpha = 3$.

Bài 5. Cho $ an alpha + cot alpha = m$. Hãy tính giá trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) $ an ^2alpha + cot ^2alpha $b) $left| an alpha – cot alpha ight|$c) $ an ^3alpha + cot ^3alpha $

Bài 6. đến $sin alpha + cos alpha = m$. Hãy tính:

a) $sin alpha cos alpha $b) $left| sin alpha – cos alpha ight|$c) $sin ^3alpha + cos ^3alpha $d) $sin ^4alpha + cos ^4alpha $ e) $sin ^6alpha + cos ^6alpha $

Dùng cách làm cộngBài 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $cos left( x + fracpi 3 ight)$, biết $sin x = frac1sqrt 3 $ với $0 b) $ an left( x – fracpi 4 ight)$, biết $cos x = – frac13$ và $fracpi 2 c) $cos left( a + b ight), m sin left( a – b ight),$ biết $sin a = frac45, m 0^0 Bài 9.

a) mang đến $sin a = – frac1213$, cùng với $pi b) đến $sin a = frac513, m cos b = frac35$ với $fracpi 2 c) mang đến $ an a = frac12, m sinb = frac35$ cùng với $0 Bài 10. mang lại $ an alpha = – frac158$ cùng với $frac3pi 2 b) Tính $sin left( alpha – 7pi ight), m cos left( alpha + frac2pi 3 ight), m cot left( frac3pi 4 – alpha ight)$.

Bài 11. cho $sin alpha = frac817, m sineta = frac1517, m 0 bài bác 12. Tính $sin 2a, m cos 2a, m an 2a$, biết

a) $sin a = – 0,6$ với $pi b) $sin a = frac35$ và $fracpi 2 c) $cos a = – frac513$ cùng $fracpi 2 d) $ an a = frac43$ và $pi e) $ an a = 2$.f) $cos a = frac14$ với $frac3pi 2 g) $sin a + cos a = frac12$ và $frac3pi 4 Bài 13. mang lại $cos a = – frac513$ cùng với $pi Bài 14. cho $sin 2a = frac45 m left( {fracpi 4 bài bác 15. Cho $sin 2a = – frac59 m left( {fracpi 2 bài xích 16. Cho $cos 2a = frac35 m left( {frac3pi 4 Bài 1. Rút gọn những biểu thức sau (không cần sử dụng máy tính):

a) $A = sin 170^0.cos 80^0 + cos 10^0.sin 80^0.$b) $B = fraccos left( – 288^0 ight)cot 72^0 an left( – 162^0 ight)sin 108^0 – an 18^0$.c) $C = fracsin left( – 243^0 ight) + sin 126^0sin 144^0 – cos 126^0. an 36^0$.d) $D = fracleft( cot 44^0 + an 226^0 ight).cos 406^0cos 316^0 – cot 72^0.cot 18^0$.

Bài 2. Rút gọn những biểu thức sau ( ko dùng laptop ):

a) $A = sin ^2left( 180^0 – x ight) + an ^2left( 180^0 – x ight). an ^2left( 270^0 + x ight) + sin left( 90^0 + x ight).cos left( x – 360^0 ight)$.b) $B = fraccos left( x – 90^0 ight)sin left( 180^0 – x ight) + frac an left( x – 180^0 ight)cos left( x + 180^0 ight)sin left( 270^0 + x ight) an left( 270^0 + x ight)$.c) $C = fracsin 20^0.sin 30^0.sin 40^0.sin 50^0.sin 60^0.sin 70^0cos 10^0.cos 50^0.$d) $D = an 1^0. an 2^0. an 3^0….. an 88^0. an 89^0.$e) $E = cos fracpi 7 + cos frac2pi 7 + …. + cos frac6pi 7$.

Bài 3. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = cos left( x – fracpi 2 ight) + sin left( x – pi ight)$.b) $B = cos left( pi – x ight) + sin left( x + fracpi 2 ight)$.c) $C = cos left( fracpi 2 – x ight) + sin left( fracpi 2 – x ight) – cos left( fracpi 2 + x ight) – sin left( fracpi 2 + x ight)$.d) $D = cos left( frac3pi 2 – x ight) – sin left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( x – frac7pi 2 ight) – sin left( x – frac7pi 2 ight).$e) $E = cos left( fracpi 2 – x ight) + cos left( pi – x ight) + cos left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( 2pi – x ight).$f) $F = sin left( frac5pi 2 – x ight) – cos left( frac13pi 2 – x ight) – 3sin left( x – 5pi ight) – 2sin x – cos x.$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( pi – x ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( pi + x ight).cot left( fracpi 2 – x ight)$.b) $B = cos left( fracpi 2 + x ight) + cos left( 2pi – x ight) + cos left( 3pi + x ight)$.c) $C = cot left( x – 4pi ight)cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 6pi ight) – 2sin left( x – pi ight)$.d) $C = sin left( x + 5pi ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( 4pi – x ight) + an left( fracpi 2 – x ight)$.e) $E = cot left( x + 5pi ight).cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 4pi ight) – 2cos left( x + fracpi 2 ight).$f) $F = cos left( x + 5pi ight) – 2sin left( frac11pi 2 – x ight) – sin left( frac11pi 2 + x ight).$

Công thức lượng giác cơ bảnBài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = left( 1 – sin ^2a ight)cot ^2a + 1 – cot ^2a.$ b) $B = cos ^4a + sin ^2a.cos ^2a + sin ^2a.$c) $C = fraccos ^2x – cot ^2xsin ^2x – an ^2x$ d) $D = fracleft( sin a + cos a ight)^2 – 1cot a – sin a.cos a$.e) $E = left( 1 + cot a ight).sin ^3a + left( 1 + an a ight).cos ^3a$ f) $F = fracsin ^2x + 2cos ^2x – 1cot ^2a$.

Bài 6. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = 1 – cos ^2a + cot ^2a.sin ^2a$.b) $B = frac2cos ^2a – 1sin a + cos a$.c) $C = cot a – fraccos asin a + 1$d) $D = fracsin a + 1cos a.left< 1 – left( frac1 – sin acos a ight)^2 ight>.$e) $E = sqrt left( 1 + cot a ight).sin ^2a + left( 1 + an a ight).cos ^2a $.

Bài 7. chứng minh các biểu thức sau không nhờ vào vào biến chuyển $x$.

a) $A = 3.cos ^2x.left( 1 + an ^2x ight) – sin ^2xleft( 1 + cot ^2x ight)$b) $B = fracsin ^4x + cos ^4x – 1sin ^2x.cos ^2x$.c) $C = fraccot ^2x – cos ^2xcot ^2x + fracsin x.cos xcot x$d) $D = frac2 an x – 1 + fraccot x + 1cot x – 1$.e) $E = 3left( sin ^4x + cos ^4x ight) – 2left( sin ^6x + cos ^6x ight)$ .f) $F = left( an x + cot x ight)^2 – left( an x – cot x ight)^2$.g) $G = sqrt sin ^4x + 4cos ^2x + sqrt cos ^4x + 4sin ^2x $ .h) $H = 2cos ^4x – sin ^4x + sin ^2x.cos ^2x + 3sin ^2x$.

Công thức cộng, nhân, biến đổi đổi

Bài 8. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = sin left( a + b ight) + sin left( fracpi 2 – a ight).sin left( – b ight)$b) $B = cos left( fracpi 4 – a ight).cos left( fracpi 4 + a ight) + frac12sin ^2a$c) $C = cos left( fracpi 2 – a ight).sin left( fracpi 2 – b ight) – sin left( a – b ight)$d) $D = cos a.cos left( fracpi 3 – a ight).cos left( fracpi 3 + a ight)$.e) $E = cos left( x + 17^0 ight).cos left( 13^0 – x ight) – sin left( 17^0 + x ight).sin left( 13^0 – x ight)$.f) $F = sin left( 2x + fracpi 3 ight)cos left( x – fracpi 6 ight) – cos left( 2x + fracpi 3 ight).cos left( frac2pi 3 – x ight)$.

Bài 9. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = fracsin left( x + fracpi 4 ight) – cos left( x + fracpi 4 ight)sin left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 4 ight)$b) $B = fraccot x – an xcos 2x$.c) $C = fracsin a + sin 3a + sin 5acos a + cos 3a + cos 5a$d) $D = fracsin a.cos 5a – sin 5a.cos 3acos 2a$.e) $H = sin xleft( 1 + 2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x ight)$.

Bài 10. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = fracsin a + sin 2a1 + cos a + cos 2a$b) $B = frac4sin ^2a1 – cos ^2fraca2$c) $C = frac1 + cos a – sin a1 – cos a – sin a$d) $D = frac1 + sin a – 2sin ^2left( 45^0 – fraca2 ight)4cos fraca2$.e) $E = frac an 2a an 4a – an 2a$f) $F = frac3 – 4cos 2a + cos 4a3 + 4cos 2a + cos 4a$g) $G = sqrt 1 + sin a – sqrt 1 – sin a , m 0 bài bác 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào vào thay đổi $x$.

a) $A = sin 8x + 2cos ^2left( 45^0 + 4x ight)$b) $B = cos x + cos left( x + frac2pi 3 ight) + cos left( x + frac4pi 3 ight)$c) $C = cos left( x – fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 6 ight).cos left( x + frac3pi 4 ight)$d) $D = sin 2x – 2sin left( x – 15^0 ight).cos left( x + 15^0 ight)$.e) $E = cos ^2x + sin left( x + 30^0 ight).sin left( x – 30^0 ight)$

Bài 12. Chứng minh những biểu thức sau không phụ thuộc vào vào phát triển thành $x$.

a) $A = sin 6x.cot 3x – cos 6x$b) $B = left( cot fracx3 – an fracx3 ight). an frac2x3$c) $C = fraccos ^3x – cos 3xcos x + fracsin ^3x + sin 3xsin x$d) $D = sin ^2x + sin ^2left( x + frac2pi 3 ight) + sin ^2left( frac2pi 3 – x ight)$e) $E = cos ^2left( a – x ight) + cos ^2x – 2cos a.cos x.cos left( a – x ight)$f) $F = left< an left( 90^0 – x ight) – cot left( 90^0 + x ight) ight>^2 – left< cot left( 180^0 + x ight) + cot left( 270^0 + x ight) ight>^2$.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh rằng với tất cả góc $alpha $ ta có:

a) $sin left( alpha + fracpi 2 ight) = cos alpha $b) $cos left( alpha + fracpi 2 ight) = – sin alpha $c) $ an left( alpha + fracpi 2 ight) = – cot alpha $d) $cot left( alpha + fracpi 2 ight) = – an alpha $.

Bài 2. chứng minh các đẳng thức:

a) $ an ^2alpha – sin ^2alpha = an ^2alpha .sin ^2alpha $b) $ an alpha + fraccos alpha 1 + sin alpha = frac1cos alpha $c) $fracsin ^3alpha + cos ^3alpha sin alpha + cos alpha = 1 – sin alpha .cos alpha $d) $fracsin ^2alpha – cos ^2alpha 1 + 2sin alpha .cos alpha = frac an alpha – 1 an alpha + 1$e) $sin ^4alpha + cos ^4alpha – sin ^6alpha – cos ^6alpha = sin ^2alpha .cos ^2alpha $f) $2left( sin ^6alpha – cos ^6alpha ight) + 1 = 3left( sin ^4alpha + cos ^4alpha ight)$g) $sin ^3alpha left( 1 + cot alpha ight) + cos ^3alpha left( 1 + an alpha ight) = sin alpha + cos alpha $

Bài 3. chứng tỏ các đẳng thức sau:

a) $frac1 + cos ^2alpha 1 – sin ^2alpha – an alpha .cot alpha = frac1cos ^2alpha $ b)$fracsin alpha + cos alpha – 11 – cos alpha = frac2cos alpha sin alpha – cos alpha + 1$c) $fracsin alpha sin alpha + cos alpha – fraccos alpha cos alpha – sin alpha = frac1 + cot ^2alpha 1 – cot ^2alpha $d) $fracsin ^2alpha sin alpha – cos alpha – fracsin alpha + cos alpha an ^2alpha – 1 = sin alpha + cos alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhânBài 4. chứng tỏ các đẳng thức sau

a) $cos x.cos left( fracpi 3 – x ight).cos left( fracpi 3 + x ight) = frac14cos 3x$b) $fracsin 2x + sin x1 + cos 2x + cos x = an x$c) $sin 5x – 2sin xleft( cos 4x + cos 2x ight) = sin x$d) $frac1 + cos x – sin x1 – cos x – sin x = – cot fracx2$e) $fracsin 2x1 + cos 2x.fraccos x1 + cos x = an fracx2$f) $frac3 – 4cos 2x + cos 4x3 + 4cos 2x + cos 4x = an ^4x$

Bài 5. Chứng minh những đẳng thức sau:

a) $sin left( a + b ight).sin left( a – b ight) = sin ^2a – sin ^2b$b) $frac4 an xleft( 1 – an ^2x ight)left( 1 + an ^2x ight)^2 = sin 4x$c) $frac2sin left( a + b ight)cos left( a + b ight) + cos left( a – b ight) = an a + an b$d) $frac1 + an ^4x an ^2x + cot ^2x = an ^2x$e) $sin 2x – sin 4x + sin 6x = 4sin x.cos 2x.cos 3x$f) $ an 3x – an 2x – an x = an x. an 2x. an 3x$g) $fraccos x.sin left( x – 3 ight) – sin x.cos left( x – 3 ight)cos left( 3 – fracpi 6 ight) – frac12sin 3 = – frac2 an 3sqrt 3 $

Dạng 4. Minh chứng đẳng thức lượng giác vào tam giác

Bài 1. mang đến $Delta ABC$. Minh chứng rằng:

a) $sin left( A + B ight) = sin C$b) $cos left( A + B ight) = – cos C$c) $sin fracA + B2 = cos fracC2$d) $cos fracA + B2 = sin fracC2$e) $ an fracA + B – C2 = cot C$.

Bài 2. mang lại tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $sin A = sin B.cos C + sin C.cos B$b) $cos fracA2 = sin fracB2.cos fracC2 + sin fracC2.cos fracB2$c) $sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C$d) $cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin fracA2.sin fracB2.sin fracC2$.

Xem thêm: Môn Tiếng Anh Khối A1 2013: Đề Thi Và Đáp Án Môn Anh 2013 Đầy Đủ Các Mã Đề

Bài 3. đến tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $cos B.cos C – sin B.sin C + cos A = 0$.b) $sin A + sin B + sin C = 4cos fracA2.cos fracB2.cos fracC2$.c) $cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 1 – 4cos A.cos B.cos C$.d) $ an fracA2. an fracB2 + an fracB2. an fracC2 + an fracC2. an fracA2 = 1$