Bài 3 dấu của nhị thức bậc nhất

Nội dung bài học Dấu của nhị thức bậc nhất sẽ giới thiệu đến các em cách xét xem một biểu thức f(x) đã cho nhận giá trị âm ( hoặc dương) với những giá trị nào của x và phương pháp để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

1.1.1. Nhị thức bậc nhất

1.1.2. Dấu của nhị thức bậc nhất

1.2. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

1.3. Áp dụng vào giải bất phương trình

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 3 chương 4 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về dấu của nhị thức bậc nhất

3.2. Bài tập SGK & Nâng caovề dấu của nhị thức bậc nhất

4.Hỏi đáp vềbài 3 chương 4 đại số 10

Nhị thức bậc nhất đối với x làbiểu thức dạngax+b, trong đóavàblà hai số cho trước, vớia≠ 0 vàađược gọi làhệ số củaxhayhệ sốcủa nhị thức.

Bạn đang xem: Bài 3 dấu của nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1:\(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)

Ta đã biết, phương trìnhax+b= 0 (a≠ 0) có một nghiệm duy nhất\({x_0} = - \frac{b}{a}\). Nghiệm đó cũng được gọi lànghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhấtf(x).

Định lý: Nhịthức bậc nhấtf(x) =ax+bcùng dấu với hệ sốakhix lấy các giá trị trong khoảng\(\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)và trái dấu với hệ sốakhix lấy các giá trị trong khoảng\(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)

Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

Ta gọi bảng này làbảng xét dấunhị thứcf(x) =ax+b.

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{ - 3x + 5}}\)

Hướng dẫn:

Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}4x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\\x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\\- 3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\)

f(x) không xác định khi\(x = \frac{5}{3}\)

Lập bảng xét dấu chung

Vậy f(x) > 0 khi\(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\frac{5}{3}} \right)\)

f(x) 0 thực chất là xét xem biểu thứcf(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào củax(do đó cũng biếtf(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào củax), làm như vậy ta nói đãxét dấubiểu thứcf(x).

Ví dụ 3: Giải bất phương trình\(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1\)

Hướng dẫn:

Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

\(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{1 - x}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} \ge 0\)

Xét dấu biểu thức\(f(x) = \frac{x}{{1 - x}}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là\(S = \left< {0;1} \right)\)

Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng ( nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.

Xem thêm: Lời Bài Hát Chuyến Tàu Hoàng Hôn, Chuyến Tàu Hoàng Hôn

Ví dụ 4:Giải bất phương trình |-2x+1|+x-3 Hướng dẫn:

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

\(\left| { - 2x + 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 1,x \ge \frac{1}{2}}\\{ - \left( { - 2x + 1} \right),x \end{array}} \right.\)

Giải các hệ bất phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\\left( { - 2x + 1} \right) + x - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x > - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left( {2x - 1} \right) + x - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \end{array}\)

Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:

\(\left( { - 7;\frac{1}{2}} \right> \cup \left( {\frac{1}{2};3} \right) = \left( { - 7;3} \right)\)

Kết luận: Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| \le a\) và\(f(x) \ge a\)với a > 0 đã cho.

Ta có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow - a \le f(x) \le a\)

\(f(x) \ge a \Leftrightarrow f(x) \le a \vee f(x) \ge a\)

Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức\(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)

Hướng dẫn:

Hệ số a = 2 > 0 và có nghiệm là\({x_0} = \frac{3}{2}\)

Bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi\({x} > \frac{3}{2}\); f(x) \(g(x) = 1 - 5x\)

Hệ số a = -5 0 khi\({x} \frac{1}{5}\); g(x) = 0 khi\({x} = \frac{1}{5}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức\(f(x) = \left( {2x - 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\)

Hướng dẫn:

Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\\left( { - x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Lập bảng xét dấu chung

Vậy f(x) > 0 khi\(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)

f(x) 3- 4x Hướng dẫn:

\({x^3} - 4x \frac{7}{{2x + 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}\frac{4}{{x - 1}} > \frac{7}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{4}{{x - 1}} - \frac{7}{{2x + 1}} > 0\\\Leftrightarrow \frac{{4\left( {2x + 1} \right) - 7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 11}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0\end{array}\) (*)

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:

\(S = \left( { - 11; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)